Ha habido un poco de confusión sobre los diferentes tipos de gráficos
que surgen al resolver estas ecuaciones diferenciales, así que pensé que seria
bueno volver a la solución del quiz 1 en más detalle para resaltar esto.
Así pues, estamos resolviendo ecuaciones del tipo. dX/dt=f(x)
y te he dado la gráfica de f(x), de manera que podemos obtener sus lineas de fase,
y también podemos esbozar soluciones de X en función de t,
y para hacer esto un poc más concreto
creo que puede ayudar interpretar esto como un problema de crecimiento de población
Así que todo lo que haré es reemplazar la variable X por la variable P,
e interpretaremos P como el tamaño de la población,
y como estamos midiendo la población en estas unidades extrañas,
esto puede ser toneladas de biomasa, o algo,
no es como si hay 1 (estamos hablando sobre conejos), no significa que hay 1 conejo, 2 conejos, 3 conejos,
así que no nos preocupamos mucho de las unidades,
pero la idea es que tenemos una población que varia con el tiempo
y esto dice que la tasa de crecimiento
es una función de la población actual,
así en este gráfico, este eje es la población P
y esto es la tasa de crecimiento - como la población está cambiando
Así podemos ver que si la población está entre 1 y 9, entonces la población se incrementará
porqué la tasa de crecimiento es positiva.
Si la población es mayor de 9, entonces la población decrecerá
porqué la tasa de crecimiento es negativa,
y si la población es menor que 1, la población también decrecerá
porqué la tasa de crecimiento es negativa.
Así, de esta informació, puedo esbozar posibles curvas que resulevan
esta ecuación diferencial, permíteme que lo haga
OK, aquí estan mis ejes- ahora el eje horizontal es tiempo,
y población en el eje vertical.
He esbozado los puntos fijos, los dos puntos estables,1 y 9, simplemente como lineas punteadas,
- estos son puntos fijos porqué la tasa de crecimiento es 0 - cuando la tasa de crecimiento es 0,
la población P no cambia.
Si empiezo en 2, creceré, me incrementaré, hasta llegar a 9, así que puedo esbozar que aquí...
Estoy incrementando, y aproximándome a 9.
Si hubiera empezado en 5, también me incrementaria , y me acercaria a 9 - va a parecer algo así.
Si empiezo en 12, decreceré, y llegaré a 9
y si empezara un poco menos de 1, decreceria e iria a 0.
OK, así estas curvas púrpuras, diría que son soluciones de esta ecuación diferencial,
para cuatro condiciones iniciales diferentes, así las curvas púrpuras, son P en función de t.
Así pues, consideremos estos dos tipos de gráficos otra vez,
porqué es realmente fácil confundirlos el uno con el otro.
Así, esto es dP/dT, en función de P - ¿Está la población aumentando o disminuyendo para un tamaño de población dado?
así que no hay tiempo en este eje.
Este gráfico es P, en función del tiempo - cómo cambia la población según el tiempo avanza.
Así pues, podemos ver que las soluciones se aproximan a este punto fijo estable en 9,
y somos apartados del punto fijo inestable en 1.
Finalmente, otro tipo de gráfico que podemos dibujar es la línea de fase, y lo hacemos...
Otra vez podemos ver que hay un punto fijo estable en 9, y un punto fijo inestable en 1,
y de hecho, podrías dibujar la línea de fase justo aquí en este eje, si quieres,
- Lo haré en un color diferente, para que resalte - coje un rotulador rojo brillante,
así en esta región, entre 1 y 9, la población está creciendo, se mueve hacia la derecha,
¿Por qué? - Porqué este gráfico es positivo, y cuando este gráfico es positivo,
esto significa que la tasa de crecimiento es positiva.
Así las flechas aquí, deben ir así...
Si estoy sobre este punto, la población decrecerá, porqué la tasa de crecimiento es negativa,
- el valor de esta función, dP/dT, es negativa, y lo mismo ocurre aquí,
y tenemos puntos fijos en las intersecciones, donde la tasa de crecimiento es 0, la población es fija.
Así que es muy fácil confundir ambos gráficos - Creo que unas cuantas personas estaban
preguntado sobre esto en el forum,
así que pense que sería bueno subrayar esto otra vez.