Έχει υπάρξει κάποια σύγχυση σχετικά με τους διαφορετικούς τύπους γραφημάτων
οι οποίοι προκύπτουν όταν λύνουμε αυτές τις διαφορικές εξισώσεις,
οποτε σκέφτηκα οτι θα ήταν καλό να περάσουμε μαζί τη λύση στο πρώτο quiz
λίγο πιο λεπτομερώς για να το επισημάνουμε αυτό.
Οπότε, λύνουμε διαφορικές εξισώσεις αυτού του τύπου: dX/dt = f(X)
και σας έχω δώσει το γράφημα του f(X)
και μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραμμή φάσης για αυτό,
μπορούμε ακόμη να σχεδιάσουμε λύσεις του Χ ως συνάρτηση του t
Και, για να κάνουμε αυτή τη συζήτηση λίγο πιο συγκεκριμένη,
νομίζω θα βοηθήσει να επανερμηνεύσουμε αυτό ως πρόβλημα αύξησης πληθυσμού,
οπότε, για να το κάνω αυτό...
Οκ, το μόνο που θα κάνω είναι να αντικαταστήσω
την μεταβλητή Χ με την μεταβλητή Ρ
και θα σκεφτούμε το Ρ σαν το μέγεθος του πληθυσμού
και, αφού μετράμε πληθυσμό σε αυτές τις περίεργες μονάδες,
ίσως αυτός είναι πληθυσμός σε μετρικούς τόνους βιομάζας ή κάτι τέτοιο
οπότε, δεν είναι σαν να υπάρχει 1, αν μιλάμε για κουνέλια,
δεν νομίζω οτι υπάρχει 1 κουνέλι, 2 κουνέλια, 3 κουνέλια,
οπότε, δε θα ασχοληθούμε πολύ με τις μονάδες εδώ,
αλλά η ιδέα είναι οτι έχουμε έναν πληθυσμό ο οποίος αλλάζει με τον χρόνο
και αυτό μας λέει ότι ο ρυθμός ανάπτυξης - αν αυξάνεται ή μειώνεται, πόσο γρήγορα -
είναι συνάρτηση του τρέχοντος πληθυσμού.
Έτσι, αυτό το γράφημα, ο άξονας εδώ, είναι ο πληθυσμός Ρ
και αυτός είναι ο ρυθμός ανάπτυξης: πώς ο πληθυσμός αλλάζει.
Μπορούμε να δούμε οτι, αν ο πληθυσμός είναι ανάμεσα στο 1 και το 9,
τότε ο πληθυσμός θα αυξηθεί
επειδή ο ρυθμός ανάπτυξης είναι θετικός: ο πληθυσμός αυξάνεται.
Αν ο πληθυσμός είναι μεγαλύτερος του 9, τότε ο πληθυσμός θα μειωθεί
επειδή ο ρυθμός ανάπτυξης είναι αρνητικός
και, αν ο πληθυσμός είναι μικρότερος του 1, ο πληθυσμός θα μειωθεί
και πάλι, επειδή ο ρυθμός ανάπτυξης είναι αρνητικός.
Έτσι, από αυτήν την πληροφορία, μπορώ να σχεδιάσω πιθανές καμπύλης λύσης
για αυτή τη διαφορική εξίσωση. Για να το κάνω αυτό...
Οκ, εδώ είναι οι άξονες μου:
εδώ είναι τώρα χρόνος στον οριζόντιο άξονα
και πληθυσμός στον κάθετο άξονα.
Έχω σχεδιάσει τα σταθερά σημεία,
τα δύο σταθερά σημεία, 1 και 9, σαν διακεκομμένες γραμμές
- αυτά είναι σταθερά σημεία επειδή ο ρυθμός ανάπτυξης είναι 0 -
όπου ο ρυθμός ανάπτυξης είναι 0, ο πληθυσμός Ρ δεν αλλάζει.
Αν ξεκινήσω, ας πούμε, στο 2, θα αυξηθεί μέχρι να φτάσω στο 9,
οπότε θα μπορούσα να το σχεδιάσω αυτό εδώ...
...αυξάνομαι και πλησιάζω το 9.
Αν ξεκινούσα στο 5, θα αυξανόμουν και πάλι και θα πλησίαζα το 9
- αυτό θα έμοιαζε κάπως έτσι.
Αν ξεκινήσω στο 12, θα μειωθώ και θα φτάσω στο 9... θα πλησιάσω το 9
και, αν ξεκινούσα λίγο πιο κάτω από το 1, θα μειωνόμουν και θα πήγαινα στο 0.
Οκ, τώρα, αυτές οι μωβ καμπύλες,
θα έλεγα οτι αυτές είναι λύσεις σε αυτή τη διαφορική εξίσωση
για τέσσερις διαφορετικές αρχικές συνθήκες,
οπότε, αυτές οι μωβ καμπύλες είναι Ρ ως συνάρτηση του t [Ρ(t)].
Επιτρέψτε μου να πω και πάλι λίγα ακόμα για αυτούς τους δύο τύπους γραφημάτων
γιατί είναι πολύ εύκολο να τους μπερδέψετε.
Αυτό είναι dP/dT, ως συνάρτηση του Ρ:
ο πληθυσμός αυξάνεται ή μειώνεται για έναν συγκεκριμένο πληθυσμό;
Οπότε δεν υπάρχει στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ο χρόνος σε αυτόν τον άξονα
Αυτό το γράφημα είναι Ρ ως συνάρτηση του χρόνο:
πώς ο πλυθησμός μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου.
Ωραία, οπότε, μπορούμε να δούμε τις λύσεις
να πλησιάζουν αυτό το ευσταθές σταθερό σημείο στο 9
και "σπρώχνονται" μακριά από το ασταθές σταθερό σημείο στο 1.
Οπότε, τέλος, ένας ακόμη τύπος γραφήματος που μπορούμε να σχεδιάσουμε
είναι η γραμμή φάσης για αυτό
και αν το κάνουμε...
Και πάλι, βλέπουμε οτι υπάρχει
ένα ευσταθές σταθερό σημείο στο 9 (stable fixed point)
και ένα ασταθές σταθερό σημείο στο 1 (unstable fixed point)
και, στην πραγματικότητα, θα μπορούσατε να σχεδιάσετε
τη γραμμή φάσης ακριβώς πάνω στον άξονα, αν θέλατε
- θα το κάνω με διαφορετικό χρώμα για να ξεχωρίζει, ας πάρω ένα έντονο κόκκινο -
οπότε, σε αυτή την περιοχή, ανάμεσα στο 1 και το 9,
ο πληθυσμός αυξάνεται, πηγαίνει προς τα δεξιά
Γιατί; Επειδή αυτό το γράφημα είναι θετικό και, όταν αυτό το γράφημα είναι θετικό
αυτό σημαίνει οτι ο ρυθμός ανάπτυξης είναι θετικός.
Έτσι, τα βέλη εδώ πρέπει να πάνε κάπως έτσι...
Αν είμαι εδώ, ο πληθυσμός θα μειώνεται,
επειδή ο ρυθμός ανάπτυξης είναι αρνητικός,
η τιμή αυτής της συνάρτησης, dP/dT, είναι αρνητική
και το ίδιο και εδώ
και έχουμε σταθερά σημεία στην τομη,
όπου ο ρυθμός ανάπτυξης είναι 0, ο πληθυσμός είναι σταθερός.
Έτσι, είναι πολύ εύκολο να μπερδέψετε αυτούς τους δύο τύπους διαγράμματος
- νομίζω κάποιοι έκαναν πολύ καλές ερωτήσεις σχετικά με αυτό στο forum,
οπότε σκέφτηκα οτι θα ήταν καλό να το τονίσουμε αυτό άλλη μια φορά.