Имаше малко объркване относно различните типове графики
когато се решават тези диференциални уравнения, затова реших че
е добре да минем през решенията на викторина 1 в повече детайли.
Решаваме диференциални уравнения от този тип: dX/dt = f(X)
и ни е дадена графиката на f(X) и можем да нарисуваме фазовата линия,
можем и да скицираме решение за X като функция от t
и за да дискутираме по-конкретно
ще помогне да видим отново тази задача за ръст на населението...
Просто заменям променливата X с променливата P
и ще разглеждаме P като размер на населението
и след като измерваме население с тези странни мерни единици,
може би това е население в метрични тонове биомаса,
така че не като да имаме 1 (ще говорим за зайци) нямаме 1 заек, 2 заека, 3 заека
няма да мислим твърде много за мерните единици
идеята е, че популацията се променя с времето
и това ни дава скоростта на промяна - нараства или се смалява, колко бързо,
е функция от текущия размер на популацията
така че графиката, осите са тук, е популация P
а това е скоростта на промяна - как се променя популацията
Виждаме, че популацията е между 1 и 9, тогава тя ще нараства
защото скоростта на растеж е положителна - популацията расте.
Ако популацията е над 9, тогава тя ще намалява
защото скоростта на растеж е отрицателна
и ако популацията е по-малка от 1, скоростта на растеж ще намалява
защото популацията е отрицателна.
От тази информация, можем да скицираме криви на решения
за това диференциално уравнение, нека го направим
ОК, това са осите - по хоризонталата имаме време
а популацията е по вертикалната ос
Скицирах фиксираните точки, двете стабилни точки, 1 и 9, прекъснати линии,
това са фиксирани точки, защото скоростта на растеж е 0 - когато тя е 0
популацията P не се променя
Ако започна в 2, ще нараствам, докато стигна 9 - скицирам го тук...
Нараствам и наближавам 9
Ако започна в 5, ще нараствам и доближавам 9, ще изглежда така
Ако започна в 12, ще намалявам докато стигна 9, доближавам 9
и ако започна под 1, ще намалявам до 0
ОК, тези лилави криви са решения на това диференциално уравнение
за четири различни начални състояния, тези криви са P като функция от t
Още малко за тези два типа графики
защото лесно се объркват.
Това е dP/dT като функция на P - Расте ли популацията или се смалява за дадена популация?
така че няма време върху осите.
Чертежът е P, като функция от времето - как варира популацията в течение на времето
Виждаме, че решенията наближават тази стабилна фиксирана точка в 9
и се отблъскват от нестабилната фиксирана точка в 1
И накрая, още един тип графика, която можем да начертаем е фазовата линия на това
Отново виждаме, че има стабилна фиксирана точка в 9, и нестабилна фиксирана точка в 1
можем да нарисуваме фазовата линия тук, на оста, ако искаме
Ще го направя в друг цвят, ярко червено,
в този регион, между 1 и 9, популацията расте, движи се надясно
Защо? - защото тази графика е положителна, и когато е положителна,
значи скоростта на растеж е положителна
Тези стрелки тук трябва да са така...
Тук популацията ще се смалява, защото скоростта на растеж е отрицателна
стойността на тази функция dP/dT е отрицателна, също и тук.
и имаме фиксирани точки на пресечката, където скоростта на растеж е 0, популацията е фиксирана.
Та, лесно се объркват тези две графики - няколко души
задаваха въпроси за тях във форума,
затова реших, че е добре да го подчертаем още веднъж.