لقد كان هناك القليل من الالتباس بخصوص الأنواع المختلفة للرسوم البيانية
التي تنشأ عند حل هذه المعادلات التفاضلية، لذلك فكرت ربما
أنّه من الجيد أن نذهب زيادةً عن الحل إلى الاختبار القصير 1 بتفصيل أكثر قليلاً لنؤكد هذا.
إذاً، نحن نحل معادلات تفاضلية من هذا النوع: dX/dt = f(x)0
ولقد أعطيتكم الرسم البياني لـ (f(x، ونستطيع أن نأتي بالخط المرحلي لهذا،
ونستطيع أيضاً أن نرسم حلول لـ X كدالة لـ t،
ونجعل هذه المناقشة واقعية أكثر قليلاً
أعتقد أنّها ستساعد على إعادة تفسير هذا كمشكلة تضخم السكان، إذاً دعوني أفعل هذا...
إذاً، كل الذي سأفعله هو استبدال المتغيّر X بالمتغيّر P،
وسنفكر بـ P كحجم السكان،
وبما أنّنا نقيس الكثافة السكانية بهذه الوحدات المسلية،
ربما الكثافة السكانية هذه بالطن المتري للكتلة الحيوية، أو شيئاً ما،
إذاً ليس كأنّه يوجد 1 (إننا نتحدث عن الأرانب)، لا أعتقد أنّه يوجد أرنب واحد، أرنبان، ثلاثة أرانب،
إذاً لا نقلق كثيراً حول الوحدات هنا،
لكن الفكرة هي أنّنا لدينا كثافة سكانية والتي تتغير بالزمن
وهذا يقول مقدار التطور - إن كانت يتزايد أو يتقلص، حسب سرعة ذلك
هو دالة بالكثافة السكانية الحالية.
إذاً ثم الرسم البياني هذا، المحور هنا، الكثافة السكانية هي P
ومن ثمّ هذه هو مقدار التغيير - كيف تتغير الكثافة السكانية.
إذاً يمكننا أن نرى إن كانت الكثافة السكانية بين 1 و 9، عندئذٍ الكثافة السكانية ستتزايد
لأنّ مقدار التطور موجب - الكثافة السكانية تتزايد
إن كان الكثافة السكانية أكبر من 9، عندئذٍ الكثافة السكانية ستتناقص
لأنّ مقدار التطور سالب،
وإن كانت الكثافة السكانية أقل من 1، مقدار التطور سيتناقص،
مجدداً، لأنّ الكثافة السكانية سالبة.
إذاً من هذه المعلومات، أستطيع أن أرسم منحني حل محتمل
لهذه المعادلة التفاضلية، إذاً دعوني أفعل هذا....
حسناً، إذاً ها هي محاوري - هذا الزمن الحالي على المحور الأفقي،
والكثافة السكانية على المحور العمودي.
لقد رسمت النقاط الثابتة، النقطتان المستقرتان، 1 و 9، فقط كخطوط منقطة،
- هذه نقاط ثابتة لأنّ مقدار التطور هو 0 - عندما يكون مقدار التطور -،
الكثافة السكانية P لا تتغير.
إذا بدأت، قل، عند 2، سأتزايد، سأتزايد، حتى أصل لـ 9، إذاً أستطيع أن أرسم هذا هنا....
- أنا أتزايد، وأقترب من 9.
إذا بدأت عند 5، سأتزايد أيضاً، وأقترب من 9.. ستبدو شيئاً كهذا.
إذا بدأت عند 12، سأتناقص، وأصطدم بـ 9.. أقترب من 9
وإذا بدأت عند أقل بقليل من الـ 1، سأتناقص وأذهب لـ 0.
حسناّ، إذاً هذه المنحنيات البنقسجية، سأقول بأنّها الحلول للمعادلة التفاضلية هذه،
لأربعة شروط إبتدائية مختلفة، إذاً هذه المنحنيات البنفسجية، إنّها P كدالة t.
إذاً دعوني أتحدث القليل مجدداً عن النوعين هذين للرسوم البيانية،
لأنّه من السهل حقّاً الارتباك بها.
إذاً هذه dP/dT ، كدالة لـ P - هل الكثافة السكانية تتزايد أو تتناقص بالنسبة للكثافة السكانية المعطاة؟
إذاً لا يوجد حقّاً، لا يوجد زمن، على المحور.
هذا الرسم البياني هو P ، كدالة للزمن - كيف تتغير الكثافة السكانية كلما تقدم الزمن.
حسناً إذاً، نستطيع أن نرى أنّ الحلول تقترب للنقطة الثابتة المستقرة هذه عند 9،
وأنّها تُدفع بعيداً عن النقطة الثابتة غير المستقرة عند 1.
إذاً أخيراً، نوع آخر من الرسم البياني والذي نستطيع أن نرسم الخط المرحلي لهذا، ونفعل هذا...
مجدداً نستطيع أن نرى أنّه يوجد نقطة ثابتة مستقرة عند 9، ونقطة ثابتة غير مستقرة عند 1،
و في الواقع، يمكنك أن ترسم الخط المرحلي هنا مباشرةً على المحور، إذا أردت،
- سأفعل هذا بألوانٍ مختلفة، لكي تبرز - أمسك قلماً أحمر ساطع،
إذاً في هذه المنطقة، بين 1 و 9، الكثافة السكانية تتزايد، إنّها تتحرك لليمين،
لماذا؟ لأنّ الرسم البياني هذا موجب، وعندما يكون الرسم البياني هذا موجب،
هذا يعني مقدار التطوّر موجب.
إذاً هذه الأسهم هنا، يجب أن تذهب هكذا....
إن كنت هنا، الكثافة السكانية ستصغر، لأنّ مقدار التطور سالب،
- القيمة لهذه الدالة، dP/dT ، سالبة، ونفس القصة هنا،
ولدينا نفاط ثابتة عند نقاط التقاطع، حيث مقدار التطور يساوي 0، الكثافة السكانية ثابتة.
إذاً إنّه من السهل جداً أن تخلط بين هذين النوعين من الرسوم البيانية - أعتقد أنّ القليل من الناس خلطوا فيما بينهم
من خلال سؤالهم أسئلة كثيرة عنهم في المنتدى،
إذاً فكرت أنّه سيكون جيداً أن نؤكد هذا مرة واحدة إضافية.