Hagamos otro ejemplo que ilustre este enfoque cualitativo de las ecuaciones diferenciales.
Entonces, aquí está el ejemplo - la derivada de X, la tasa de cambio de X, es alguna función de X,
y esta vez ni siquiera voy a escribir una fórmula para X,
Solamente mostraré la gráfica de (X)- es esta curva azul,
Entonces, para diferentes valores de X,tengo diferentes valores de la derivada
Si recordamos que un sistema dinámico no es más
que un sistema matemático que cambia en el tiempo de acuerdo a una regla bien especificada.
y aquí, esta gráfica de aquí, es una representación de esta regla
Entonces esto dice que si usted es menor que dos, debería incrementar, su derivada es positiva
si la derivada es positiva - la curva azul está sobre el eje, entonces X mayúscula se está incrementando.
entre 2 y 6, X decrece - la curva azul es negativa, la derivada es negativa,
y mayor que 6, X crece nuevamente - esta crece porque la derivada es positiva.
-la curva azul está sobre el eje x.
Entonces podemos dibujar inmediatamente la linea de fase para esta ecuación diferencial.
Hay dos puntos de equilibrio, o puntos fijos...
en 2 y 6 - entonces para la ecuación diferencial, tenemos un punto fijo de equilibrio cuando la derivada es cero.
porque cuando la derivada es cero, la función no está cambiando, eso sucede en 2 y 6.
Entre 2 y 6 la derivada es negativa - la curva azul está por debajo del eje.
por lo tanto la cantidad X está decreciendo hacia 2,
debajo de 2 - esta es positivo, por lo tanto estamos creciendo;
arriva de 6, es positivo nuevamente, por lo tanto está creciendo.
Entonces tenemos dos puntos fijos diferentes.
- este es estable o un atractor, 6 es inestable o un repulsor
También podemos bosquejar las curvas solución de esta ecuación diferencial.
Comenzamos dibujando algunos ejes...
, OK, entoces aquí están algunos ejes
aquí va el tiempo- las unidades son algo arbitrarias- solamente hay que poner algo aquí abajo,
y veamos - 2 es un punto fijo atractor. Si comenzamos en cualquier lugar menor que 2
se incrementará rapidamente, y luego suavemente se aproximará a 2
entonces si tuviera una condición inicial aquí abajo, probablemente haría algo así...
que debe estar aproximandose a 2.
si estoy en algun lugar entre 2 y 6, disminuyo hasta llegar a 2
digamos que comienzo un poco debajo de 6,- 6 es un punto de equilibrio, un punto estable,
pero si estoy un poco debajo de 6, mi derivada es negativa - esto significa que disminuiré,
primero lentamente, y luego más rapidamente an luego lentamente otra vez,
y todas estas curvas - se está poniendo un poco desordenado- pero se estan aproximando a este punto fijo en 2.
Ahora voy a dibujar el punto de equilibrio en - como una línea de puntos; y luego tenemos un punto de equilibrio en 6,
y el punto de equilibrio es inestable aquí - se produce un lío en mi figura aquí
- estos puntos de aquí se apartarían - y estos, vamos a dibujar estas un poco mejor, - convergen los dos -
Por lo tanto, estas curvas solución en púrpura, contienen la misma información en un sentido, que esta línea de fase ,
para que podamos ver que tenemos un punto fijo estable en 2, y está atrayendo,
y así un número de diferentes órbitas o soluciones están todas tirando hacia aquí
nada entre - nada menos que 6 en realidad, es atraída aquí,
y si empezamos un poco por encima de 6, conseguimos apartarlo
Así que de nuevo, comenzar con una ecuación diferencial - una ecuación diferencial es una regla
de cómo cambia X - que especifica la derivada para cada X
y de que podemos averiguar rápidamente qué manera las cosas se están moviendo
- Sólo están moviendo hacia la derecha cuando esto es positivo, a la izquierda cuando es negativo,
entonces podemos conseguir nuestros puntos fijos, y podemos ver nuestra estabilidad de inmediato,
y luego podemos tomar este gráfico para esta gráfico y esbozar algunas soluciones.
Déjame hacer una cosa más para ilustrar la relación entre estas curvas púrpura
- Las soluciones - y esta, la línea de fase.
Voy a tomar la línea de fase, y girarla sobre su costado, por lo que señala hacia arriba en lugar de hacia los lados.
Hago eso .. aquí está la línea de fase ... punto fijo en 6 ... punto fijo a 2 ...
puntos entre 6 y 2 van hacia 2 ... por debajo del 2 sube hacia 2 ... y aquí se apartan de esta manera.
Así que si usted pone la línea de fase sobre en su lado, le indica la dirección que estas curvas solución púrpura se van,
así que aquí las curvas solución púrpura están bajando hacia 2, hacia abajo, hacia 2;
aquí, se están apartando de 6; aquí van hacia 2.
Antes de pasar a la siguiente sub-unidad , sugiero que usted practice estas ideas en los cuestionarios que siguen esta lección.
Estos le darán la oportunidad de familiarizarse con estas técnicas y asegúrese de ver cómo se usan