Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα που να περιγράφει
αυτή την ποιοτική προσέγγιση των διαφορικών εξισώσεων.
Αυτό είναι το παράδειγμα:
η παράγωγος του x, ο ρυθμός μεταβολής του Χ, είναι κάποια συνάρτηση του Χ.
Και αυτή τη φορά δεν θα γράψω καν κάποιον τύπο για το Χ,
θα δείξω απλά το γράφημα του f(Χ): είναι αυτή η μπλε καμπύλη.
Οπότε, διαφορετικές τιμές του Χ έχουν διαφορετικές τιμές της παραγώγου.
Θυμηθείτε οτι ένα δυναμικό σύστημα είναι απλά
ένα μαθηματικό σύστημα το οποίο αλλάζει στον χρόνο
ανάλογα με κάποιον καλά καθορισμένο κανόνα
και, εδώ, το γράφημα αυτό, είναι μια αναπαράσταση αυτού του κανόνα.
Έτσι, αυτό λέει, αν είσαι μικρότερο από 2, ο κανόνας είναι:
θα έπρεπε να αυξηθείς - η παράγωγος σου είναι θετική.
Αν η παράγωγος είναι θετική - η μπλε καμπύλη είναι πάνω απο τον άξονα -
τότε το κεφαλαίο Χ αυξάνεται.
Μεταξύ 2 και 6, το Χ μειώνεται
- η μπλε καμπύλη είναι αρνητική, η παράγωγος είναι αρνητική -
και μεγαλύτερο του 6, το Χ αυξάνεται και πάλι:
αυξάνεται γιατί η παράγωγος είναι θετική,
η μπλέ καμπύλη είναι πάνω από τον άξονα των χ.
Έτσι, αμέσως, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια γραμμή φάσης
για αυτή τη διαφορική εξίσωση.
Υπάρχουν δύο τιμές ισορροπίας ή σταθερά σημεία...
...στο 2 και το 6.
Οπότε, για αυτή τη διαφορική εξίσωση,
έχουμε ένα σταθερό σημείο ισορροπίας, όταν η παράγωγος είναι 0,
επειδή, όταν μια παράγωγος είναι 0, η συνάρτηση δεν αλλάζει,
αυτό συμβαίνει στο 2 και στο 6.
Ανάμεσα στο 2 και το 6, η παράγωγος είναι αρνητική
- η μπλε καμπύλη είναι κάτω από τον άξονα
οπότε η ποσότητα Χ μειώνεται προς το 2.
Κάτω απο το 2 - αυτό είναι θετικό, οπότε αυξανεται -,
πάνω απο το 6, θετικό και πάλι, οπότε αυξάνεται.
Οπότε έχουμε δύο διαφορετικά σταθερά σημεία:
αυτό είναι ευσταθές ή ελκυστής, το 6 είναι ασταθές ή απωθητής.
Μπορούμε ακόμη να σχεδιάσουμε καμπύλες λύσης
σε αυτή τη διαφορική εξίσωση.
Ξεκινάμε με το να σχεδιάσουμε κάποιους άξονες...
Οκ, ορίστε οι άξονες...
Εδώ είναι ο χρόνος. Οι μονάδες εδώ είναι αρκετά αυθαίρετες
- οπότε απλά θα βάλω κάτι εδώ κάτω -
και, για να δούμε, το 2 είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο.
Αν ξεκινήσουμε οπουδήποτε κάτω απο 2
θα αυξηθεί ραγδαία και, έπειτα, πιο ομαλά θα πλησιάσει το 2
οπότε, αν είχα μια αρχική συνθήκη εδω κάτω, θα κάνατε πιθανά...
...κάτι σαν αυτό
αυτό πρέπει να πλησιάζει το 2.
Αν είμαι κάπου ανάμεσα στο 2 και το 6, θα μειωσώ μέχρι να φτάσω το 2.
Ας πούμε οτι ξεκινάω λίγο κάτω από το 6.
Το 6 είναι ένα σημείο ισορροπίας, ένα σταθερό σημείο
αλλά, αν είμαι λίγο κάτω από το 6, η παράγωγος μου είναι αρνητική.
Αυτό σημαίνει οτι θα μειώνομαι,
αργά στην αρχή και έπειτα πιο ραγδαία και, μετά, πάλι αργά
και όλες αυτές οι καμπύλες - γίνεται λίγο δυσδιάκριτο -
αλλά πλησιάζουν αυτό το σταθερό σημείο στο 2.
Ίσως θα σχεδιάσω το σημείο ισορροπίας
σαν μια διακεκομμένη γραμμή -
και τότε έχουμε ένα σημείο ισορροπίας στο 6
και το σημείο ισορροπίας εδώ είναι ασταθές
- θα τα κάνω λίγο χάλια εδώ -
Σημεία εδώ θα σπρώχνονταν μακριά
και αυτά...
- για να τα σχεδιάσω λίγο καλύτερα -
...όλα συγκλίνουν στο 2.
Οπότε, αυτές οι καμπύλες λύσης σε μωβ περιέχουν τις ίδιες πληροφορίες,
κατά κάποιο τρόπο, με αυτή τη γραμμή φάσεων.
Μπορούμε να δούμε οτι έχουμε ένα ευσταθές σταθερό σημείο στο 2, και έλκει
και, έτσι, αρκετές διαφορετικές τροχίες ή λύσεις έλκονται εκεί:
οτιδήποτε μεταξύ... οτιδήποτε μικρότερο από 6 βασικά, έλκεται εκεί
και, αν ξεκινήσουμε λίγο πάνω απο το 6, μας σπρώχνει μακριά.
Οπότε, και πάλι, ξεκινώντας από τη διαφορική εξίσωση:
η διαφορική εξίσωση είναι ένας κανόνας
για το πώς το Χ αλλάζει - καθορίζει την παράγωγο για κάθε Χ
και, από αυτό, μπορούμε γρήγορα να καταλάβουμε
με ποίον τρόπο τα πράγματα κινούνται:
κινούνται προς τα δεξιά όταν αυτό είναι θετικό,
προς τα αριστερά όταν είναι αρνητικό.
Μετά μπορούμε να βρούμε τα σταθερά μας σημεία και να δούμε αμέσως την ευστάθεια
και, έπειτα, μπορούμε να πάρουμε αυτό το διάγραμμα ή αυτό το διάγραμμα
και να σχεδιάσουμε κάποιες λύσεις.
Θα κάνω ένα ακόμη πράγμα για να δείξω τη σχέση μεταξύ αυτών των μωβ γραμμών
- των λύσεων - και αυτού, της γραμμής φάσης.
Θα πάρω τη γραμμή φάσης και θα την γυρίσω στο πλάι της
ώστε να δείχνει πάνω αντί για πλάγια.
Το κάνω αυτό...
εδώ είναι η γραμμή φάσης...
σταθερό σημείο στο 6...
σταθερό σημείο στο 2...
σημεία ανάμεσα στο 6 και το 2 πάνε στο 2...
μικρότερα από 2 πάνε πάνω στο 2...
και εδώ [μεγαλύτερα του 6] φεύγουν μακριά έτσι.
Οπότε, αν βάλετε τη γραμμή φάσης στο πλάι της,
σας λέει την κατεύθυνση στην οποία αυτές οι μωβ καμπύλες λύσης πάνε.
Έτσι εδώ, οι μωβ καμπύλες λύσης πάνε κάτω προς το 2, κάτω προς το 2,
εδώ, πάνε πάνω μακριά απο το 6, εδώ πάνε πάνω προς το 2.
Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη υποενότητα,
σας προτείνω να εξασκηθείτε σε αυτές τις ιδέες
με τα quiz που ακολουθούν αυτό το βιντεο.
Αυτά θα σας δώσουν μια ευκαιρία να εξοικειωθείτε με αυτές τεχνικές
και να βεβαιωθείτε οτι καταλαβαίνετε πώς χρησιμοποιούνται.