Нека направим още един пример, илюстриращ качествения подход към диференциални уравнения
Ето го примерът - производната на X, скоростта на промяна на X, е функция на X
и дори няма да записвам формулата на X,
само ще покажа графиката на f(X) - синята крива
Различните стойностти на X, имат различни стойностти на производната
Запомнете, че динамичната система е просто
математическа система, която се променя във времето според определено правило
този чертеж представлява това правило,
Казва, че ако си под 2, правилото е че трябва да се повиши - производната ви е положителна
Ако производната е положителна, синята крива е над оста, главно X нараства
между 2 и 6, X намалява - синята крива е отрицателна, производната е отрицателна
и повече от 6, X отново нараства - защото производната е положителна
синята крива е над x-оста
Можем да нарисуваме фазова линия за това диференциално уравнение
Има два еквилибриума, или фиксирани точки
в 2 и 6 - за диференциалното уравнение имаме фиксирана точка, когато производната е 0
защото, когато производната е 0, функцията не се променя, това става при 2 и 6
Между 2 и 6, производната е отрицателна - синята крива е под оста,
количеството X намалява към 2
под 2 - там е положително, значи нарастваме
над 6 - положително отново, значи нарастваме
Имаме две различни фиксирани точки
тази е стабилна или атрактор, 6 е нестабилна или репелър.
Можем да скицираме и решения на това диференциално уравнение.
Да започнем с осите...
Ето някакви оси...
това е времето - мерните единици са произволни - слагаме нещо
и да видим - 2 е привличаща фиксирана точка. Ако започнем под 2
ще се увеличава бързо, а след това плавно ще приближава 2
ако имате начално състояние тук долу, ще направите нещо такова
трябва да приближава 2
Ако съм някъде между 2 и 6, ще намаляваме докато стигнем 2
Нека започнем малко под 6, 6 е точка на еквилибриум, стабилна точка
но ако съм малко под 6, производната ми е отрицателна, т.е. намаляваме
първо бавно, после по-интензивно, и после пак бавно
и всички тези криви - става малко объркано, но доближаваме тази фиксирана точка в 2
Мога да начертая еквилибриума, с прекъсната линия, и имаме еквилибриум в 6
и точката на еквилибриум тук е нестабилна - обърква ми фигурата
точките тук се отблъскват, а тези, да нарисуваме по-добре, свързвайки двете
Кривите на решенията в лилаво, съдържат същата информация, като тази фазова линия
виждаме, че има стабилна фиксирана точка в 2, и е привличаща.
и различни орбити и решения се струпват тук
всичко между - всичко под 6 всъщност идва тук
и ако започнем малко над 6, се отблъскваме
Започваме с диференциално уравнение - то е правило
за това как X се променя - определя производната за всяко X
и от това можем бързо да видим накъде се движат нещата
отиват надясно когато това е положително, наляво когато е отрицателно
така можем да получим фиксираните точки и да видим веднага стабилността
тогава можем да вземем този чертеж и да скицираме някои решения.
Нека направим още едно за илюстрация на зависимостта между лилавите криви
решенията, и това, фазовата линия.
Взимам фазовата линия и я обръщам настрани, сочи нагоре вместо настрани
Ето я фазовата линия, фиксирана точка в 6, фиксирана точка в 2
точки между 6 и 2 отиват към 2, под 2 се качват до 2... а тук се отдалечават така.
Ако обърнем фазовата линия настрани ни казва посоката в която отиват лилавите криви с решения
тук лилавите криви на решенията отиват надолу към 2.
тук се качват нагоре далеч от 6, тук се покачват до 2
Преди да преминете на следващия под-модул, предлагам да упражните тези идеи на викторините
Ще ви дадът шанс да се запознаете по-добре с тези техники и да видите как се ползват.