دعونا نستعرض مثالاً آخراً موضحين هذا الأسلوب النوعي للمعادلات التفاضلية.
إذاً ها هو المثال - مشتق الـ X، معدل التغيير لـ X، هو دالة ما لـ X،
وهذه المرة لن أقوم بكتابة معادلة لـ X حتى،
فقط سأعرض الرسم البياني لـ (f(X - إنّه هذا المُنحنى الأزرق.
إذاً قيم مختلفة لـ X، تملك قيم مختلفة للمشتق.
إذاً تذكر أنّ النظام الديناميكي هو فقط
نظام رياضي يتغير مع الزمن وفقاً لقاعدة معرّفة جيداً.
وهنا، هذا الرسم البياني هنا، إنّه تمثيل لهذه القاعدة،
إذاً إنّه يقول إن كنت أقل من 2، القاعدة هي: يجب أن تزيد - مشتقك موجب.
إن كان المشتق موجب - المُنحنى الأزرق فوق المحور، ثمّ تزداد X الكبيرة،
بين 2 و 6، X تتناقص - المُنحنى الأزرق سالب، المشتق سالب،
وأكبر من 6، X تزداد مجدداً - تزداد لأنّ المشتق موجب
- المُنحنى الأزرق فوق محور X.
إذاً نستطيع أن نرسم مباشرةً الخط المرحلي للمعادلة التفاضلية هذه.
يوجد توازنان أو نقطتان ثابتتان...
عند 2 و 6، - إذاً للمعادلة التفاضلية، لدينا نقطة توازن ثابتة، عندما يكون المشتق 0،
لأنّ عندما يكون المشتق 0، الدالة لا تتغيّر، هذا يحدث عند 2 و 6.
في ما بين 2 و6، المشتق سالب - المُنحنى الأزرق تحت المحور،
إذاً المقدار X يتناقص نحو 2،
تحت 2 هذا موجب، وبالتالي نزيد:
فوق الـ 6، إنّه موجب مجدداً، وبالتالي إنّه يزداد.
إذاً لدينا نقطتين ثابتتين مختلفتين،
هذه مستقرة، أو إنّها جاذبة، 6 ليست مستقرة، أو منفرة.
نستطيع أيضاً أن نرسم مُنحنىي الحل لهذه المعادلة التفاضلية.
بدءاً برسم بعض المحاور..
حسناً، إذاً هنا بعض المحاور...
- هنا الزمن - الوحدات هنا عشوائية جداً - فقط ضع شيئاً ما هنا،
ودعونا نرى 2 نقطة ثابتة جاذبة. إذا بدأنا أي مكان أقل من 2
ستزداد بسرعة، وثمّ تقترب بهدوء من 2،
إذاً إن كان لدي شرط إبتدائي هنا بالأسفل، ستقوم على الأرجح بفعل شيئاً ما كهذا...
لا بد أنّه يقترب من 2.
إن كنت بمكانٍ ما بين 2 و 6، أتناقص حتى أصطدم بـ 2،
دعونا نقول أنّي بدأت تحت 6 قليلاً، 6 نقطة توازن، نقطة مستقرة،
لكن إن كنت تحت الـ 6 قليلاً، مشتقي سالب، هذا يعني سأنقص،
بالبداية ببطئ، ومن ثمّ بسرعة أكبر، ومن ثمّ ببطئ مجدداً،
وكل هذه المنحنيات - تصبح فوضوية بعض الشيء - لكنّها تقترب للنقطة الثابتة هذه عند 2.
ربما سأرسم نقطة التوازن كخط منقط. ومن ثم لدينا نقطة توازن عند الـ 6،
والنقطة المتوازنة هنا غير مستقرة - إنّي أصنع فوضى بشكلي هنا
النقاط هنا ستُدفع بعيداً - وهذه، دعونا نرسم هذه بشكل أفضل قليلاً
إذاً، منحنيات الحلول هذه بالبنفسجي، تحتوي نفس المعلومات بالمعنى التي يحتويها الخط المرحلي هذا،
إذاً نستطيع أن نرى أننا لدينا نقطة ثابتة مستقرة عند 2، وإنّها جاذبة،
وبالتالي عدد من المدارات أو الحلول المختلفة تُسحب هنا،
أي شيء فيما بينها. أي شيء أقل من 6 فعلاً، يُسحب هنا،
وإذا بدأنا فوق أكثر بقليلاً، سنُدفع بعيداً
إذاً مجدداً، أبدأ بمعادلة تفاضلية. المعادلة التفاضلية هي قاعدة
لكيف تتغير X والتي تحدد المشتق لكل X
ومن هذا نستطيع أن نكتشف بسرعة بأي اتجاه تتحرك الأشياء
- إنهم يتحركون لليمين فقط عندما يكون موجب، ولليسارعندما يكون سالب،
ثم نحصل على ألنقاط الثابتة، ونستطيع أن نرى الاستقرار مباشرةً،
ومن ثم نستطيع أن نأخذ الرسم البياني هذا للرسم البياني هذا ونرسم بعض الحلول.
دعوني أقوم بشيئاً آخر لأوضّح العلاقة بين المنحنيات البنفسجية هذه
- الحلول - وهذا الخط المرحلي.
سآخذ الخط المرحلي، وأحوّله لاتجاهه، إذاً إنّه يظهر بوضوح بدلاً من الانحراف.
أقوم بهذا... ها هنا الخط المرحلي... نقطة ثابتة عند 6.... نقطة ثابتة عند 2...
النقاط بين 6 و 2 تذهب لـ 2... تحت الـ 2 ترتفع لـ 2... وهنا يذهبوا بعيداً كهذا.
إذاً إذا وضعت الخط المرحلي على جهته، يخبرك الاتجاه الذي تذهب به منحنيات الحلول البنفسجية هذه،
إذاً هنا مُنحنى الحل البنفسجي ينزل نحو 2، أسفل نحو 2:
هنا، ترتفع من 6: ترتفع نحو 2.
قبل الانتقال إلى الوحدة الفرعية التالية، أقترح أن تتمرن على هذه الأفكار بالاختبارات القصيرة التي تتبع هذه المحاضرة.
هذا سيعطيك فرصة لتتآلف أكثر مع هذه التقنيات ولتتأكّد من كيفية استعمالهم.