Τέλος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις εικόνες για να σχεδιάσουμε
τη γενική μορφή των λύσεων αυτής της διαφορικής εξίσωσης.
Οπότε, να μια διαφορική εξίσωση: Ο Νόμος Ψύξης του Νεύτωνα
που προσδιορίζει την παράγωγο
- πώς η θερμοκρασία αλλάζει ως συνάρτηση της θερμοκρασίας -
και να ένα διάγραμμα της δεξιάς πλευράς - το ίδιο που έδειξα και πριν -,
μας δείχνει πώς ο ρυθμός μεταβολής,
σε βαθμούς Κελσίου ανα λεπτό,
εξαρτάται από την θερμοκρασία.
Και εδώ είναι η γραμμή φάσης
έχουμε ένα σταθερό, ελκυστικό σταθερό σημείο στο 20
και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυτό για να σχεδιάσουμε τις λύσεις T(t).
Αυτή η γραμμή φάσης είναι παρόμοια με τη γραμμή φάσης για τις επαναληπτικές συναρτήσεις.
Τώρα θα σχεδιάσω κάποιες λύσεις που είναι παρόμοιες
με τα γραφήματα χρονοσειράς για τις επαναληπτικές συναρτήσεις
Για να σχεδιάσω κάποιους άξονες...
Οκ, αυτοί είναι οι άξονες μου
και τώρα, στον οριζόντιο άξονα είναι ο χρόνος, t σε λεπτά,
και εδώ είναι η θερμοκρασία - βαθμοί Κελσίου -
Οπότε, ξέρω οτι, για να δούμε, ας το κάνουμε με μωβ
αν η αρχική μου τιμή είναι 5
- οπότε θα ξεκινήσω κάπου εδώ -
ξέρω οτι θα αυξηθεί μέχρι να φτάσει στο 20.
Ξέρω οτι θα ξεκινήσω με έναν ραγδαίο ρυθμό αύξησης
επειδή η συνάρτηση έχει μια υψηλή τιμή - ο ρυθμός ψύξης είναι υψηλός
και ο ρυθμός ψύξης μειώνεται και μειώνεται όσο πλησιάζω το 20
Οπότε, δε ξέρω τις ακριβείς λεπτομέρειες,
αλλά ξέρω οτι η καμπύλη πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:
Θα πλησιάσω το σταθερό σημείο στο 20
και, αρχικά, θα θερμαίνομαι πολύ γρήγορα
- γιατί αυτή η συνάρτηση είναι υψηλή -
και, έπειτα, ο ρυθμός με τον οποίο θερμαίνομαι
μειώνεται καθώς πλησιάζω το 20.
Θα μπορούσα να κάνω μια άλλη λύση:
ας υποθέσουμε οτι ξεκινούσαμε με ένα άλλο ρόφημα
στους, ας πούμε, 45 βαθμούς.
Τότε, θα ψυχόταν πολύ γρήγορα
- αυτό είναι πολύ υψηλό και αρνητικό, οπότε χάνω θερμοκρασία γρήγορα -
και αυτό μπορεί να έμοιαζε κάπως έτσι.
Οπότε, δε μπορώ, από αυτή την ποιοτική εικόνα,
να καταλάβω ακριβώς τη συναρτησιακή δομή
ή ακριβώς τη χρονική στιγμή αυτού
- θα σας δείξω πώς να το κάνετε αυτό στο επόμενο μάθημα -
αλλά μπορώ να πάρω πάρα πολλές πληροφορίες.
Αυτό ονομάζεται ποιοτική ανάλυση μιας διαφορικής εξίσωσης:
σχεδιάζουμε τη δεξιά πλευρά και βλέπουμε που η συνάρτηση αυξάνεται
και που μειώνεται - αυξάνεται όπου η παράγωγος είναι θετική
και μειώνεται όπου η παράγωγος είναι αρνητική.
Απο εκεί, μπορούμε αμέσως να σχεδιάσουμε μια γραμμή φάσης
και, από αυτή τη γραμμή φάσης,
μπορούμε να σχεδιάσουμε το γενικό σχήμα των λύσεων.
Οπότε, πιστεύω οτι αυτή είναι πολύ πληροφορία
απλά και μόνο από λίγη γεωμετρία και κοινή λογική
και, πολύ συχνά, αυτό θα αρκεί για να αναλύσουμε μια διαφορική εξίσωση.