Накрая, можем да използваме тези графики, за да очертаем
общата форма на решенията на диференциално уравнение.
Ето го диферециалното уравнение: Закона на Нютон за охлаждане
той определя производната - как температурата се променя,
като функция на температурата, и ето чертеж на дясната част,
същото нещо като преди, което показва как скоростта на промяна
в градуса по Целзий в минута,
зависи от температурата и това е фазовата линия
имаме стабилна, привличаща фиксирана точка при 20,
можем да използваме това да скицираме решенията T(t)
Тази фазова линия е сходна на фазовата линия за итерираните функции
ще скицирам някои решения, сходни на чертеж на времеви серии за итерирани функции
Рисуваме осите... ето ги и тях
на хоризонталната имаме време - t в минути,
а това е температурата - градуси в Целзий,
Нека направим тази точка в лилаво
ако стартовата ми стойност е 5, започваме някъде тук
Ще увеличавам, докато стигна 20 - знам че в началото скоростта на повижаване ще е висока
защото тази функция има голяма стойност - скоростта на охлаждане е много голяма
скоростта на охлаждане намалява, докато наближавам 20
Не знам точните детайли, но знам че кривата изглежда подобно:
Ще наближавам стабилната фиксирана точка 20
и в началото ще загрявам много бързо - стойността на функцията е голяма
след това скоростта на затопляне намаля щом наближавам 20.
Да видим друго решение - започваме с друга напитка
на 45 градуса, например - тогава ще се охлажда много бързо
това е много голямо и отрицателно, затова ще губя температура много бързо,
и това ще изглежда долу-горе така.
От тази качествена графика не мога да получа точната функционална форма,
или точното време на това - ще ви покажа как се прави в следващата лекция
но получаваме много информация.
Това се нарича качествен анализ на диференциално уравнение,
скицираме лявата и дясната страна, и ивиждаме къде функцията нараства
и къде намалява, нараства където производната е положителна,
намалява където производната е отрицателна.
От там можем да нарисуваме фазова линия,
а от нея можем да скицираме генералната форма на решенията.
Мисля, че е доста информация само от малко геометрия и здрав разум
и често това ще ни бъде достатъчно за анализ на диференциално уравнение.