أخيراً، يمكننا أن نستخدم هذه الصور لرسم
الشكل العام للحلول للمعادلات التفاضلية هذه.
إذاً ها هنا معادلة مختلفة: قانون نيوتن للتبريد،
- هذا يحدد المشتق - كيف تتغير درجة الحرارة،
كدالة لدرجة الحرارة، وها هنا رسم بياني للطرف الأيمن،
نفس الشيء الذي فعلته سابقاً، هذا يُظهر كيف أنّ معدل التغيير
مقدراً بالدرجة المئوية في الدقيقة،
اعتماداً على درجة الحرارة، وها هنا الخط المرحلي
- لدينا نقطة ثابتة مستقرة عند 20.
ونستطيع أن نستخدم هذا لرسم الحلول (T(t
إذاً هذا الخط المرحلي مشابه للخط المرحلي للتوابع التكرارية،
الآن سأرسم بعض الحلول المشابهة لرسم السلسلة الزمنية البياني للتوابع التكرارية.
دعوني أرسم بعض المحاور…. إذاً ها هي محاوري،
والآن على المحور الأفقي الزمن - t بالدقائق،
وثمّ ها هنا درجة الحرارة - درجة مئوية،
إذاً أعرف أنّ، - دعونا نقول، ألون هذه النقطة بالبنفسجي،
إن كانت قيمتي البدائية 5، إذاً سأبدأ بمكان ما هنا،
أعرف أنّي سأزداد حتى أحصل على 20 أعرف أنّي سأبدأ عند معدل زيادة سريع
لأنّ هذه الدالة لديها قيمة كبيرة - معدل التبريد كبير،
معدل التبريد يصغر أكثر وأكثر، كلما اقتربت من 20.
إذاً أنا لا أعرف التفاصيل الدقيقة لكن أعرف أنّ المنحنى يجب أن يبدو شيئاً كهذا:
سأقتوب من النقظة الثابتة المستقرة عند 20،
ومبدئياً، أني أسخن بسرعة - هذه الدالة كبيرة
وبعدئذٍ المعدل الذي أسخن عنده يتناقص عندما أفترب من 20.
أستطيع أن أقوم بحل آخر - افترض أنّنا بدأنا بشراب مختلف
عند، فلنقل، 45 درجة - ثم أستطيع أن أبرد بسرعة كبيرة
- هذا كبير جداً وسالب وأنا أخسر درجة الحرارة بسرعة،
وهذا ربما يبدو شيئاً كهذا.
إذاً، لا أستطيع من هذه الصورة النوعية أن أكتشف الشكل العملي الدقيق،
أو التوقيت الدقيق لهذا - سأعرض لكم كيف تقوموا بهذا بالمحاضرة التالية،
لكن يمكن أن نحصل على كم هائل من المعلومات.
إذاً، هذا يدعى تحليل نوعي للمعادلة التفاضلية،
نرسم الجهة اليمنى ونرى أين تزداد الدالة،
وأين تتناقص - إنّها تتزايد كلما كان المشتق موجباً،
وتتناقص كلما كان المشتق سالباً.
من هناك، نستطيع أن نرسم الخط المرحلي مباشرةً،
ومن الخط المرحلي هذا نستطيع أن نرسم الشكل العام للحلول.
إذاً، أعتقد أن هذه معلومات كثير من القليل من علم الهندسة والحاسة العامة
وكثيراً ما يكون هذا كافياً لتحليل معادلة تفاضلية.