Considere la Ley de Enfriamiento de Newton en un objeto en un lugar a 20.
En esta ecuación, T es la temperatura y t minúscula es el tiempo.
Nos interesa cómo T cambia en el tiempo t la temperatura inicial de la bebida es 5,
me gustaría saber cuál es su temperatura en cualquier otro momento.
Dado que T(0) es 5, eso significa que la temperatura al tiempo t=0 es 5.
Esa es la temperatura inicial. Nos gustaría saber cuál es T(t).
¿Cómo la temperatura varía en función del tiempo?
Si encontramos esto podemos decir que hemos resuelto la ecuación
o encontrado una solución.
Encontrar esto sería similar a encontrar la órbita de una función iterada.
En esta sub unidad describiré algunos métodos cualitativos para determinar
el comportamiento general de este tipo de ecuaciones diferenciales.
La clave va a ser graficar el lado derecho de esta ecuación.
Permítanme hacer eso y veremos cómo se ve y qué nos dice.
Lo que he hecho es dibujar una gráfica del lado derecho de la ecuación.
Esta línea morada es esta función.
Si no vemos cómo hacer esta gráfica inmediatamente, no te preocupes,
puedes graficarla en una computadora, para este curso yo proveeré las gráficas.
De acuerdo, pensemos en lo que esto nos dice.
En el eje horizontal se encuentra la temperatura en grados Celsius
eso es T conforme va variando t
e interpretamos esto como la derivada,
la tasa de cambio de la temperatura,
esto tendría las unidades de grados Celsius por minuto.
Qué tan rápido la temperatura se está calentando o se está enfriando.
Si tenemos agua que está justo en cero, se estaría calentando a 4 grados/minuto.
Usamos esta gráfica, no para leer el valor directo de la temperatura
en vez si sabemos la temperatura, entonces sabemos la rapidez del cambio.
Si estuviéramos a 10 grados Celsius,
entonces esto diría,
una disculpa porque la escala no es exacta,
si estamos a 10 grados Celsius,
entonces el calentamiento es de 2 grados por minuto.
Si estuviéramos a 20 grados Celsius,
entonces no habría ningún calentamiento.
La tasa de cambio de la temperatura sería 0
porque la línea morada cruza 0 en ese punto
o podemos sustituir 20 aquí
y obtenemos 20 – 20 igual a cero,
de tal forma, la tasa de cambio ubicada a la izquierda
de esta ecuación es cero.
Si tuviéramos algo a 30, quizás una taza de té caliente,
entonces su derivada, su tasa de cambio de acuerdo a esta función
es -2. Se está calentado a -2 grados por minuto
que equivale a decir que se está enfriando 2 grados por minuto.
Su temperatura está decreciendo en ese instante 2 grados por minuto.
De este tipo de gráfico podemos ir inmediatamente a un diagrama
de línea de fase para las soluciones de esta ecuación diferencial.
Permítanme dibujar eso.
Existe un punto fijo o valor de equilibrio
y se encuentra en 20.
20 es fijo porque la tasa de cambio cuando la temperatura es 20 es cero.
Si colocan un vaso de agua a temperatura ambiente en una habitación a 20 grados,
permanecerá a 20 grados.
Si estamos por debajo de 20,
a una temperatura más fría que 20,
sabemos que el objeto se calentará,
lo sabemos por experiencia cotidiana
y también podemos apreciarlo en esta gráfica.
La gráfica, que interpretamos como la derivada es positiva,
eso significa que T, la temperatura está creciendo
de esta forma hasta que llegamos a 20.
En caso que T esté aquí en 30 o 40 grados
entonces sabemos que la temperatura disminuirá,
se enfriará hacia la temperatura ambiente
y sabemos por experiencia cotidiana
y también podemos ver esto por la función.
La línea morada es negativa aquí.
Eso significa que dT/dt,
la tasa de cambio de la temperatura es negativa,
la temperatura se está haciendo más pequeña.
Si sustituyo 30 aquí, obtengo un número negativo,
significando que la temperatura irá decreciendo.
A partir de esta gráfica podemos obtener mucha información.
Vemos que hay un punto fijo o equilibrio
en 20, vemos que es estable o atractor.