Αυτή είναι μια εκδοχή του Νόμου Ψύξης του Νεύτωνα
που θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε ένα αντικείμενο
που βρίσκεται σε ένα δωμάτιο με θερμοκρασία 20 βαθμούς.
Τώρα, σε αυτή την εξίσωση, το κεφαλαίο Τ είναι η θερμοκρασία
και το μικρό t είναι ο χρόνος.
Και, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι πώς το κεφαλαίο Τ αλλάζει με τον χρόνο.
Έτσι, με δεδομένο οτι η αρχική θερμοκρασία του ποτού είναι 5 βαθμοί,
θα ήθελα να μάθω ποιά είναι η θερμοκρασία του σε όλους τους άλλους χρόνους.
Έτσι, με δεδομένο οτι το T(0) είναι 5
- αυτό σημαίνει οτι η θερμοκρασία στο χρόνο t=0 είναι 5,
αυτή είναι η αρχική θερμοκρασία - θα θέλαμε να μάθουμε ποιό είναι το T(t).
Πώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία; Πώς αλλάζει ως συνάρτηση του χρόνου;
Έτσι, αν βρούμε αυτό [T(t)], λέμε οτι έχουμε λύσει την εξίσωση ή έχουμε βρει τη λύση.
Το να βρούμε αυτό [το T(t)], θα είναι σαν να βρούμε
την τροχιά ή διαδρομή μιας επαναληπτικής συνάρτησης.
Έτσι, σε αυτή την υποενότητα, θα περιγράψω κάποιες ποιοτικές μεθόδους
για να βρίσκουμε τη γενική συμπεριφορά τέτοιων τύπων διαφορικών εξισώσεων.
Και το κλειδί θα είναι να φτιάξουμε το γράφημα
της δεξιά πλευράς αυτής της εξίσωσης.
Λοιπόν, για να το κάνω αυτό και θα δούμε πώς μοιάζει και τι μας λέει.
Αυτό που έκανα είναι οτι σχεδίασα ένα γράφημα
της δεξιάς πλευράς αυτής της εξίσωσης.
Αυτή η μωβ γραμμή είναι αυτή η συνάρτηση.
Αν δεν καταλαβαίνετε πώς να φτιάξετε αυτό το γράφημα, μην ανυσηχείτε.
Μπορείτε να το φτιάξετε σε υπολογιστή αλλά,
γι' αυτό το μάθημα, θα σας παρέχω τα γραφήματα σαν αυτό.
Οκ! Οπότε, ας σκεφτούμε τι μας λέει αυτό.
Στον οριζόντιο άξονα είναι η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου.
Δηλαδή αυτό είναι το T καθώς μεταβάλλουμε το t.
Και το ερμηνεύουμε αυτό ως την παράγωγο, τον ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας.
Οπότε αυτό θα έχει ως μονάδες μέτρησης βαθμούς Κελσίου ανα λεπτό.
Πόσο γρήγορα η θερμοκρασία ανεβαίνει ή κατεβαίνει.
Έτσι, αν είχαμε νερό το οποίο βρίσκεται κοντά στο 0,
τότε θα θερμαινόταν με 4 βαθμούς ανα λεπτό.
Οπότε χρησιμοποιούμε αυτό το γράφημα για να διαβάσουμε
οχι την ακριβή τιμή της θερμοκρασίας, αλλά, αν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία,
μπορούμε να βρούμε πόσο γρήγορα η θερμοκρασία αλλάζει.
Αν είμαστε στους 10 βαθμούς Κελσίου, τότε αυτό λέει,
και συγνώμη που η κλίμακα είναι λίγο λάθος
αλλά, αν είμαστε στους 10 βαθμούς Κελσίου,
τότε θερμαινόμαστε στους 2 βαθμούς ανα λεπτό.
Αν είμαστε στους 20 βαθμούς, τότε δεν θερμαινόμαστε καθόλου.
Ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας είναι 0, επειδή η μωβ γραμμή
περνάει από το 0.
Ή, αν βάλεις 20 εδώ, παίρνεις 20 μείον 20: αυτό είναι 0, έτσι ο ρυθμός μεταβολής,
δηλαδή η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης, είναι 0.
Αν είχαμε κάτι στους 30, ίσως ένα ζεστό φλυτζάνι τσάι,
τότε η παράγωγος του,
ο ρυθμός μεταβολής του σύμφωνα με αυτή την εξίσωση είναι -2.
Άρα, θερμαίνεται στους -2 βαθμούς ανα λεπτό.
Ή, θα μπορούσατε να πείτε, ψύχεται στους 2 βαθμούς ανα λεπτό,
η θερμοκρασία του μειώνεται αυτή τη στιγμή με 2 βαθμούς ανα λεπτό.
Έτσι, από αυτού του είδους γραφήματος
μπορούμε να πάμε αμέσως σε μια γραμμή φάσεων
για τις λύσεις αυτής της διαφορικής εξίσωσης.
Για να τη σχεδιάσω.
Υπάρχει ένα σταθερό σημείο (fixed point) ή τιμή ισορροπίας και αυτό είναι στο 20.
Το 20 είναι σταθερό επειδή ο ρυθμός μεταβολής,
όταν η θερμοκρασία είναι 20, είναι 0.
Αν βάλετε ένα ποτήρι νερό, το οποίο είναι σε θερμοκρασία δωματίου,
σε ένα δωμάτιο 20 βαθμών, θα παραμείνει στους 20 βαθμούς.
Αν είμαστε κάτω των 20, πιο δροσερά απο 20,
ξέρουμε οτι το νερό, το αντικείμενο, θα ζεσταθεί.
Και το ξέρουμε αυτό απο καθημερινή εμπειρία.
Μπορούμε όμως να το δούμε και σε αυτό το γράφημα.
Το γράφημα, το οποίο ερμηνεύουμε ως την παράγωγο, είναι θετικό.
Αυτό σημαίνει οτι το κεφαλαίο Τ, η θερμοκρασία, αυξάνεται
όσο πηγαίνουμε προς αυτή την κατεύθυνση.
Και αυξάνεται μέχρι να φτάσουμε στο 20.
Και, αν το κεφαλαίο Τ είναι εδώ, στους 30 ή 40 βαθμούς, τότε ξέρουμε
οτι η θερμοκρασία θα μειωθεί, θα κρυώσει φτάνοντας στη θερμοκρασία δωματίου.
Και το ξέρουμε αυτό απο καθημερινή εμπειρία
αλλά μπορούμε και να το δούμε απο τη συνάρτηση.
Η μωβ γραμμή είναι αρνητική εδώ: αυτό σημαίνει οτι το dT/dt,
ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας, είναι αρνητικός.
Η θερμοκρασία μικραίνει.
Αν βάλω 30 εδώ, θα πάρω έναν αρνητικό αριθμό,
που σημαίνει οτι η θερμοκρασία μειώνεται
Έτσι, αμέσως, απο αυτό το διάγραμμα μπορούμε να πάρουμε πολλές πληροφορίες.
Βλέπουμε οτι υπάρχει ένα σταθερό σημείο, ή σημείο ισορροπίας στο 20
και βλέπουμε οτι είναι σταθερό ή ελκυστικό σημείο.