Ето версия на Закона на Нютон за охлаждане, приложима към обект в стая с температура 20
В уравнението T е температура, а t е време
Интересува ни как T се променя с времето. При дадена начална температура на напитка 5 градуса
искам да знам каква е температурата по всяко време
Дадено е, T(0) е 5. Означава, че температурата във време t=0, е 5.
Това е началната температура. Искаме да знаем колко е T(t). Как варира температурата във времето?
Ако можем да го намерим, значи сме решили уравнението и сме намерили решение.
Решението е като намирането на орбита или маршрут на итерирана функция
В този под-модул, ще опиша качествени методи за установяване на поведението на тези типове диференциални уравнения
Важното е да се направи графика на дясната част на уравнението
Нека го направим и видим как изглежда, и какво ни казва
Нарисувах графика на дясната страна на уравнението
Лилавата линия е тази функция.
Ако не знаете как се прави тази графика, не се притеснявайте. Може да се направи на компютър, но за курса, аз ще ги предоставям.
Нека видим какво ни казва това. По хоризонталната ос е температурата по Целзий.
Това е T докато t се променя.
А това интерпретираме като производна, скоростта на промяна на температурата. Мерната единица е градуси в минута.
Колко бързо температурата се затопля или охлажда.
Ако имаме вода около 0, ще се затопля с 4 градуса в минута.
Използваме графиката, за да прочетем не точната стойност
на температурата, а ако знаем температурата, можем
да разберем колко бързо тя се променя.
Ако сме на 10 градуса, казваме (съжалявам, че скалата не е съвсем точна)
но, ако сме на 10 градуса, се стопля с 2 градуса в минута
Ако сме на 20 градуса, въобще не се стопля
Скоростта на промяна на температурата е 0, защото лилавата линия
минава през 0
И ако сложим 20 тук, получаваме 20 - 20, това е 0, т.е. скоростта на промяна
лявата страна на уравнението, е 0.
Ако имахме нещо на 30, може би топъл чай,
тогава производната, скоростта на промяна според тази функция е -2.
Загрява с -2 градуса в минута.
Може да се каже, че се охлажда с 2 градуса в минута.
Температурата намалява в този момент с 2 градуса в минута.
От този тип графика, можем да отидем директно към фазова линия на решенията на това диференциално уравнение.
Нека го нарисувам
Това е една фиксирана точка или стойност на еквилибриум и това е 20.
20 е фиксирана, защото скоростта на промяна, когато температурата е 20, е 0
Ако сложим чаша вода, която е със стайна температура, в стая с 20 градуса, тя ще остане 20 градуса
Ако сме под 20, по-студено от 20, знаем, че водата ще се затопли. Това е ежедневният ни опит
Виждаме го и от графиката. Графиката, която интерпретираме като производна, е положителна,
което означава, че T, температурата, се повишава, така че се местим насам. Повишава се докато стигне 20
Ако Т е тук, на 30 или 40 градуса, знаем че температурата ще спада, ще се охлажда до стайна
Знаем го от ежедневен опит, но можем да го видим и от функцията
Лилавата линия е негативна тук, което значи че dT/dt, скоростта на промяна на температурата е отрицателна
Температурата се понижава. Ако сложа 30 тук, ще получа отрицателно число, т.е. температурата се понижава
Непосредствено от графиката можем да получим много информация.
Виждаме, че има фиксирана стойност или еквилибриум при 20.
Виждаме, че е стабилна или привличаща.