هنا نسخة من قانون نيوتن للتبريد والذي يمكن تطبيقه لشيء موجود في غرفة بدرجة حرارة 20.
الآن في هذه المعادلة T الحرف الكبير هو درجة الحرارة و t الحرف الصغير هو الزمن.
ونحن مهتمين بـ T الكبيرة كيف تتغير بمرور الزمن. إذاً، نظراً إلى أنّ درجة الحرارة الأوليّة للشراب هي 5 درجات،
أود أن أعرف ماهي درجة الحرارة عند كل الأزمنة الأخرى.
إذاً، نظراًإلى أنّ (0)T هي خمسة. هذا يعني أنّ درجة الحرارة عند الزمن t=0، هي خمسة.
هذه درجة الحرارة الأولية. نود أن نعرف ماهي (T(t؟ كيف تتفاوت درجة الحرارة، كيف تتغير كدالة للزمن؟
إذاً، إذا استطعنا إيجاد هذا، سنقول بأنّنا حللنا المعادلة أو وجدنا الحل.
إيجاد هذا سيكون كإيجاد المدار أو مسار الرحلة للتابع التكراري.
إذاً، في الوحدة الفرعية هذه، سأصف بعض الطرق النوعية لاكتشاف السلوك العام لهذه الأنواع من المعادلات التفاضلية.
والمفتاح سيكون رسم الجهة اليمنى لهذه المعادلة بيانياً.
إذاً، دعوني أفعل هذا وسنرى ماذا يبدو وماذا يخبرنا.
إذاً، الذي فعلته أنّي رسمت رسماً بيانياً للجهة اليمنى لهذه المعادلة.
إذاً هذا الخط البنفسجي هو هذه الدالة.
إذا لم نرى كيف نصنع هذا الرسم البياني حالاً، لا تقلق. تستطيع رسمها بيانياً على الحاسوب، لكن لهذه الدورة سأزودك برسوم بيانية كهذه.
حسناً! إذاً، دعونا نفكر بماذا تخبرنا هذه. على المحور الأفقي يوجد درجة الحرارة مقاسة بوحدة الدرجة المئوية.
إذاً ها هي T عندما نغيّر t.
وثمّ نفسر هذا كما المشتق، نسبة التغيير لدرجة الحرارة. إذاً هذا سيكون لديه وحدات وهي درجة مئوية بالدقيقة
مدى سرعة سخونة درجة الحرارة أو برودتها.
إذاً، إن كان لدينا ماء عند حوالي 0 تماماً، عندئذٍ سيسخن حتى 4 درجات بالدقيقة.
إذاً، نستطيع أن نستخدم هذا الرسم البياني ليس لقراءة القيمة الحالية لدرجة الحرارة،
ولكن إن كنّا نعرف درجة الحرارة،
نستطيع ان نكتشف مدى سرعة تغير درجة الحرارة.
إن كنا عند 10 درجة مئوية، عندئذٍ هذا يقول، وآسف بأنّ المقياس منحرف قليلاً،
لكن، إن كنّا عند 10درجة مئوية، عندئذٍ نحن نسخن عند 2 درجة بالدقيقة.
إن كنّا عند 20 درجة مئوية، عندئذً لن نسخن أبداّ.
معدل تغير درجة الحرارة هو 0، لأن الخط البنفسجي
يمر خلال الـ 0.
أو إذا أدخلت 20 هنا، ستحصل على 20 ناقص 20: هذا 0،
ويكون معدل التغيير، أعني الجهة اليسرى لهذه المعادلة هو 0
إن كان لدينا شيئاً ما عند 30، ربما كوب ساخن من الشاي،
عندئذٍ مشتقه، معدل تغييره وفقاً لهذه الدالة هو 2-
إذاً، إنّه يسخن بمقدار 2- درجة بالدقيقة.
أو بإمكانك أن تقول إنّه يبرد بمقدار 2 درجة بالدقيقة.
درجة حرارته تناقص عند تلك اللحظة بمقدار 2 درجة بالدقيقة.
إذاً، من هذا النوع من الرسم البياني يمكننا أن نذهب مباشرةً للخط المرحلي للحلول للمعادلات التفاضلية هذه.
إذاً، دعوني أرسم هذا.
يوجد نقطة ثابتة واحدة أو نقطة توازن وهي عند 20،
20 ثابتة لأنّ معدل التغيير عندما تكون درجة الحرارة 20 هو 0.
إذا وضعت كأساً من الماء حرارته بحرارة الغرفة في غرفة درجة حرارتها 20 درجة، ستبقى حرارته عند 20 درجة.
إن كنّا تحت 20، أبرد من 20، نعرف بأنّ الماء، الشيء سيسخن. ونعرف هذا من تجربة الحياة اليومية.
ونستطيع أن نرى هذا أيضاً من الرسم البياني. الرسم البياني الذي فسرناه كالمشتق، إنّه موجب،
هذا يعني أنّ T الكبيرة، درجة الحرارة تزداد كلما تحركنا بهذا الاتجاه. وتزداد حتى نحصل على 20.
و إذا T الكبيرة هنا، نحو 30 أو 40 درجة، عندئذٍ نعرف أنّ درجة الحرارة ستتناقص، ستبرد لدرجة حرارة الغرفة.
ونعرف هذا من تجربة الحياة اليومية، لكن أيضاً نستطيع أن نرى هذا من الدالة.
الخط البنفسجي سالب هنا، هذا يعني أنّ dT/dt، معدل التغيير لدرجة الحرارة سالب.
درجة الحرارة تقل. إذا أدخلت 30 هنا، سأحصل على رقم سالب، وهذا يعني أنّ درجة الحرارة تتناقص.
إذاً، مباشرةً من هذا الرسم البياني نستطيع أن نحصل على الكثير من المعلومات.
نستطيع أن نرى أنّه يوجد نقطة ثابتة، أو نقطة توازن عند 20.
ونرى أنًّها مستقرة أو جاذبة.