Σε αυτή την υποενότητα, θα παρουσιάσω
ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας διαφορικής εξίσωσης
την οποία θα λύσουμε και θα αναλύσουμε
με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους.
Η διαφορική εξίσωση την οποία θα χρησιμοποιήσω
είναι γνωστή ως ο Νόμος Ψύξης του Νεύτωνα.
Περιγράφει πώς τα αντικείμενα θερμαίνονται ή ψύχονται.
Πιθανόν τον γνωρίζετε ήδη, ακόμη και αν δεν έχετε σπουδάσει Φυσική.
Για παράδειγμα, υποθέστε οτι βρίσκεστε σπίτι,
μετά από μια μεγάλη, δύσκολη μέρα μαγνητοσκοπώντας βίντεο για παραγώγους
και ανοίγετε μια κρύα μπύρα...
Οπότε, πήρα μόλις αυτή τη μπύρα από το ψυγείο μου,
όπου, ας πούμε, έχει 5 βαθμούς
Η θερμοκρασία δωματίου είναι πιθανόν περίπου 20 βαθμοί.
Έτσι, όπως πιθανόν έχουμε όλοι βιώσει, αυτό το κρύο ποτό πρόκειται να ζεσταθεί
και θα ζεσταθεί πολύ γρήγορα στην αρχή
Ο ρυθμός θέρμανσης είναι μέγιστος όταν η διαφορά μεταξύ
της θερμοκρασίας της μπύρας και της θερμοκρασίας του δωματίου είναι μέγιστη
Έτσι, θα ζεσταθεί πολύ γρήγορα στην αρχή,
κι έπειτα λιγότερο γρήγορα και λιγότερο γρήγορα
μέχρι να φτάσει τη θερμοκρασία δωματίου στους 20 βαθμούς.
Οπότε, ξέροντας οτι η μπύρα ζεσταίνεται, νομίζω οτι
θα επικεντρωθώ σε αυτήν και θα τελειώσω αυτό το μάθημα αύριο το πρωί.
Η διαφορική εξίσωση στην οποία αναφέρθηκα χθες το βράδυ
είναι γνωστή ως Νόμος Ψύξης του Νεύτωνα.
Και να τι λέει αυτή η εξίσωση με λόγια: ο ρυθμός ψύξης ή θέρμανσης,
είναι κάποια συνάρτηση της θερμοκρασίας Τ,
της θερμοκρασίας του αντικειμένο το οποίο θερμαίνεται ή ψύχεται
και, πιο συγκεκριμένα, αυτή η συνάρτηση είναι ανάλογη προς την διαφορά
μεταξύ της θερμοκρασίας του αντικειμένου και της θερμοκρασίας του δωματίου.
Έτσι, αν το αντικείμενο είναι πολύ πιο θερμό ή πολύ πιο ψυχρό
από τη θερμοκρασία δωματίου, η θερμοκρασία του θα αλλάξει πολύ γρήγορα.
Αν η διαφορά μεταξύ της θερμοκρασίας του αντικειμένου και της θερμοκρασίας του δωματίου
είναι πολύ μικρή, δε θα ζεσταθεί ή κρυώσει πολύ γρήγορα.
Οπότε, αυτός είναι ο Νόμος Ψύξης του Νεύτωνα λεκτικά.
Για να δούμε την εξίσωση.