في الوحدة الفرعية هذه، سأقدّم
مثال خاص بمعادلة تفاضلية
والتي سنحلها ونحللها
بعدة طرق مختلفة.
المعادلة التفاضلية التي سأستخدمها معروفة بـ: قانون نيوتن للتبريد.
يصف كيف الأشياء تسخن أو تبرد.
ربما إنّها مألوفة لك سابقاً حتى وإن لم تدرس الفيزياء.
كمثال، افترض أنّك بالمنزل، بعد
يوم طويل من تسجيل الفيديوهات عن
المشتقات وتفتح زجاجة شراب شعير باردة...
إذاً، أنا فقط أخذت هذه الزجاجة من ثلاجتي، حيث درجة الحرارة، دعونا نقول، 5 درجات.
درجة حرارة الغرفة من المحتمل أنّها حوالي 20 درجة.
إذاً، كما اختبرنا كلنا على الأرجح، هذا الشراب البارد سيسخن،
وسيسخن بسرعة في البداية.
نسبة التسخين أكبر عندما يكون الاختلاف
بين درجة حرارة الشراب و درجة حرارة الغرفة هو الأكبر.
إذاً ستسخن بسرعة في البداية، وثم بسرعة أقل، وأقل،
حتى تصل لدرجة حرارة الغرفة عند 20 درجة.
إذاً، أنا مُدرك أنّ هذا الشراب يسخن، إذاً أعتقد أنّي سأركز على هذا، وسننهي هذا الدرس غداً صباحاً ...
المعادلة التفاضلية التي ذكرتها الليلة الماضية معروفة بـ: قانون نيوتن للتبريد،
وها هنا ماذا تقول هذه المعادلة في كلمات: نسبة التبريد أو التسخين،
في كلتا الحالتين، هي دالةٌ ما لدرجة الحرارة T، درجة حراراة الشيء الذي يبرد أو يسخن.
وخاصةً، تلك الدالة متناسبة للفرق بين درجة حرارة الشيء ودرجة حرارة الغرفة.
إذاً، إذا كان الشيء أكثر حرارة، أو أكثر برودة، من درجة حرارة الغرفة، درجة حرارته ستتغير بسرعة.
إذا كان الفرق بين درجة حرارة الشيء ودرجة حرارة الغرفة
قليل جداً، لن يسخن أو يبرد بسرعة.
إذاً، قانون نيوتن للتبريد هذا في كلمات. دعونا نلقي نظرة للمعادلة.