最后一节，我们讲些导数
可能说得太多了
要点就是
导数是
瞬间改变率
告诉你瞬间增长或者收缩有多快
我们现在可以讲微分方程了
这是另一种动力系统
下面几节里
我们会讲不同的微分方程
以及如何求解
解的意义
我其实并不清楚具体的顺序
但是我相信到最后
你们都会理解什么是微分方程
解是什么
以及如何求解动力系统
让我们开始
比较微分方程和递推函数
这是第一类动力系统
这是递推函数
记号很清楚
初始值
作用函数就得到下一个值
得到轨道里的下一个值
函数可能输出不同的值 依赖于当前的值
微分方程要用到导数
x是t的函数
导数是x的函数
让我们看下
x的导数
就是x的瞬间改变率
告诉我们x如何改变
x如何改变
作为x的函数
有了x就有x的改变率
我们可以得到x的下一个值
当求解递归函数时
需要一个初始值
从而可以得到一个轨道
第一次迭代
第二次
第三次
等等
对于微分方程
也要一个初始值
记为x0
x在时间0的值
你需要一个初始值
无论是什么
这个函数告诉你如何改变
告诉你的信息并不直接
告诉你下一个值是什么
微分方程告诉你
x怎么改变的
解并不是离散的轨道，是个连续函数
解是一个函数
关于t的函数
t
x是t的函数
谁知道是什么
这是一个例子
不像一个时间序列图
它是离散的
这里是连续的
由初始条件开始
然后增长或者减小
由微分方程来决定
我们可以有不同的方式看微分方程
微分方程也是动力系统
依时间改变的系统
这是个例子 引起你的思考
手提电话里有种设备叫导航仪
汽车里也有
输入从哪里出发
就给你指出一条路
你沿着这些方向走
我输入班歌，缅因州
从校园出发
然后跟着方向走
它告诉我具体怎么走
这就是方向的集合
当我在一个不同的地方
我可以沿着方向走
它会给我不同的方向提示
基于我现在的位置
不断地提示我
告诉我方位
就像x值
总是告诉我怎么做
微分方程也很相似
告诉我方向 而不是位置
走这里 走那里
它告诉我走多快
导数是多少
速度是多少
方向是多少
微分方程连续地告诉我
导数应该是什么
导数是什么
在每一点 连续地告诉我
有点讨厌
这样我就得到了一条曲线
很像递推函数
连续的运用 得到一条轨道
微分方程是微分形式的动力系统
但和差分方程很相似
是道路空间的规则
无论是什么
只要有初始条件
我们回头看方程
微分方程是这种形式的
看成x的导数
这个方程说的是
x的改变率，无论多快或者多慢
就是导数
是由
x的函数
x改变， 函数
总是告诉我下个x的值
x如何继续改变
这决定了x的改变率
来自于x的改变
我们可以解出x
这是我们感兴趣的事
比如，你知道速度和方向
你可以得到位置的函数
下面一章 我们给个具体的例子
告诉你如何做