En la última sub unidad hablamos un poco acerca de las derivadas,
posiblemente hablé demasiado.
El punto principal es que
la derivada de una cantidad es su
tasa de cambio instantánea
Te dice qué tan rápido está creciendo o decreciendo una cantidad en el tiempo.
Ahora hablaremos de de las ecuaciones diferenciales.
Son otro tipo de sistema dinámico.
En las siguientes secciones
les daré distintas formas de pensar acerca de las ecuaciones diferenciales,
cómo resolverlas
y qué significan sus soluciones
No estoy seguro de qué orden seguir para las siguientes secciones,
pero estoy confiado en que cuando lleguemos al final de ellas,
podrán decir de qué son las ecuaciones diferenciales,
qué significan sus soluciones
y cómo pensar en ellas como sistemas dinámicos.
Iniciemos.
Introduciré las ecuaciones diferenciales comparándolas con funciones iteradas,
el primer tipo de sistema dinámico estudiado.
Aquí está una función iterada.
Esta notación clarifica la necesidad de requerir
un valor inicial,
y luego se puede obtener el siguiente valor aplicando la función al actual.
el siguiente valor en la órbita o itinerario es función del valor actual.
Esta función puede tener distintos valores dependiendo del actual.
Una ecuación diferencial involucra la derivada de una función.
de tal forma que la función aquí es x de t.
Esto indica que la derivada de x es una función de x.
Detallemos esto.
La derivada de x,
esto es la tasa de cambio instantáneo de x,
esto nos dice cómo está cambiando x
cómo el cambio de x depende en x,
es una función de x.
Si me dices x, te puedo decir qué tan rápido está cambiando x.
Aquí si me dices x n, puedo determinar el siguiente valor de x n.
Cuando un resuelve una función iterada,
se requiere un valor inicial
y a partir de él se puede determinar la órbita.
El primer iterado,
segundo iterado,
tercer iterado
y así sucesivamente.
Para la ecuación diferencial también se requiere
una condición inicial, un punto inicial
que se puede escribir x0,
o se puede escribir x en el tiempo 0.
Se requiere un valor inicial para esta variable,
cualquiera que este sea
y entonces esta función te dice cómo cambia la función,
no te da la información de forma tan directa como aquí
que se indica el siguiente valor.
Aquí la ecuación diferencial te indica
qué tan rápido está cambiando la función para cualquier x determinado.
La solución para una ecuación diferencial no es discreta sino una función continua.
Así que la solución será una función
x de t,
t
aquí está x de t
y quién sabe,
aquí solo estoy haciendo un ejemplo.
En vez de una gráfica de una serie de tiempo que fluctúa
y es discreta,
aquí hay una curva continua,
inicia con la condición inicial
y entonces crece o se contrae de acuerdo a las instrucciones que haya recibido
de la ecuación diferencial.
Una forma como me gusta pensar en las ecuaciones diferenciales,
son sistemas dinámicos.
Un sistema que cambia en el tiempo de acuerdo a una regla bien especificada.
Y aquí hay un ejemplo de una regla que te puede dar una forma de pensar en esto.
Existe un dispositivo de navegación construido dentro de este iPhone,
hay objetos similares construidos en muchos autos.
Le indicas dónde estás iniciando
y entonces te da un conjunto de direcciones
y ese conjunto de direcciones te llevan al destino que hayas ingresado.
Aquí ingresé cómo llegar a Bangor, Maine
desde donde me encuentro en el campus.
Si oprimo inicio me dará en una voz molesta algunas indicaciones como esta:
(GPS) “Iniciando la ruta a Bangor, ME. Diríjase al SE sobre Sea Urchin Rd.”
Me da el primer conjunto de indicaciones,
las sigo y me encuentro en una ubicación distinta
he realizado lo solicitado, sigo dirección.
Entonces me da un conjunto distinto de indicaciones,
de acuerdo a mi lugar actual.
Se actualiza continuamente lo que me indica.
Lo que me dice varía conforme me muevo,
tal como mi valor x cambia en la ecuación
y siempre me dice qué hacer.
Una ecuación diferencial es similar a esto,
excepto que las direcciones que me da no son una posición directa.
Las cosas van aquí, aquí y aquí.
En vez me dice qué tan rápido ir siempre,
la derivada,
la velocidad,
y la dirección.
La ecuación diferencial me dice continuamente
cuál debe ser la derivada
cuál debe ser
en todos los puntos, continuamente habla conmigo
en su molesta pequeña voz.
De esta forma determina una curva en el espacio,
de forma similar a una función iterada,
esa regla aplicada continuamente especifica una órbita.
Las ecuaciones diferenciales son un tipo distinto de sistema dinámico,
muy similares a funciones iteradas.
Es una regla que especifica un camino en el espacio
en lo que sea
siempre y cuando se le indique una condición inicial.
Veamos nuevamente la ecuación.
Una ecuación diferencial es una ecuación de esta forma.
La derivada x es una función de x.
En palabras esta ecuación dice lo siguiente:
la tasa de cambio de x, qué tan rápido x está creciendo o decreciendo,
eso es la derivada,
se determina por, eso es el símbolo =
una función de x.
Conforme x cambia, esta regla, esta función
siempre me dice, no cuál es el siguiente valor de x
sino cómo x continua cambiando.
Esto determina el cambio en x
y del cambio en x
podemos determinar x,
el objeto en sí en de interés.
Por ejemplo, si sabes la velocidad y la dirección
podemos determinar la posición como una función del tiempo.
En la siguiente intervención haré un ejemplo específico de esto
y verás cómo funciona.