Στην προηγούμενη υποενότητα, μίλησα λίγο για τις παραγώγους,
ίσως μίλησα λίγο παραπάνω,
αλλά, το βασικό σημείο είναι οτι
η παράγωγος μιας ποσότητας είναι
ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της.
Μας λέει απλά πόσο γρήγορα μια ποσότητα αυξάνεται
ή μειώνεται σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
Είμαστε τώρα έτοιμοι να μιλήσουμε για τις διαφορικές εξισώσεις.
Αυτές είναι ένα διαφορετικού τύπου δυναμικό σύστημα.
Στα επόμενα αρκετά βίντεο
θα σας δώσω κάποιους διαφορετικούς τρόπους να σκέφτεστε
σχετικά με διαφορικές εξισώσεις και πως να τις λύνετε
και τι αυτές οι λύσεις μπορεί να σημαίνουν.
Για να είμαι ειλικρινής, δεν είμαι ακριβώς βέβαιος
με ποια σειρά να κάνω τις επόμενες διαλέξεις
αλλά είμαι σίγουρος οτι, όταν φτάσουμε στο τέλος τους,
θα έχετε αποκτήσει μια αρκετά καλή αίσθηση
του τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις,
τι σημαίνουν οι λύσεις τους
και πώς να σκέφτεστε για αυτές ως δυναμικά συστήματα.
Οπότε, ας ξεκινήσουμε!
Θα παρουσιάσω τις διαφορικές εξισώσεις
με το να τις συγκρίνω με τις επαναληπτικές συναρτήσεις,
τον πρώτο τύπο δυναμικών συστημάτων που μελετήσαμε.
Εδώ είναι λοιπόν μια επαναληπτική συνάρτηση.
Αυτή η σημειογραφία μας δείχνει εμφανώς οτι χρειαζόμαστε
μια αρχική τιμή
και, έπειτα, μπορούμε πάντα να βρούμε την επόμενη τιμή
εφαρμόζοντας τη συνάρτηση στην τρέχουσα τιμή.
Οπότε, η επόμενη τιμή στην τροχία ή διαδρομή
είναι συνάρτηση της τρέχουσας τιμής
και αυτή η συνάρτηση θα έχει πιθανότατα διαφορετικές τιμές
ανάλογα με το ποία είναι η τρέχουσα τιμή.
Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση
που περιλαμβάνει την παράγωγο μιας συνάρτησης.
Εδώ η συνάρτηση είναι x του t.
Και αυτό λέει οτι η παράγωγος του x είναι συνάρτηση του x.
Οκ, ας το αναλύσουμε αυτό.
Η παράγωγος του x,
αυτό σημαίνει ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του x,
οπότε αυτό μας λέει πώς αλλάζει το x,
το πώς αλλάζει το x εξαρτάται από το x,
είναι συνάρτηση του x.
Αν μου δώσετε το x, μπορώ να σας πώ πόσο γρήγορα αλλάζει το x.
Εδώ, αν μου δώσετε το x_n, μπορώ να βρώ την επόμενη τιμή του x_n [x_n+1].
Όταν κανείς λύνει μια επαναληπτική συνάρτηση
χρειάζεται μια φύτρα [x_0].
και απο αυτήν, μπορεί να βρει την τροχιά:
την πρώτη επανάληψη [x_1],
τη δεύτερη επανάληψη [x_2],
την τρίτη επανάληψη [x_3]
και ούτω καθεξής.
Για τη διαφορική εξίσωση θα χρειαστείτε επίσης
μια αρχική συνθήκη, ένα σημείο εκκίνησης
το οποίο θα μπορούσατε να γράψετε x_0
ή μπορεί να το γράψετε ως x στο χρόνο 0 [x(0)].
Οπότε, χρειάζεστε μια αρχική τιμή για αυτή τη μεταβλητή
όποια κι αν είναι
και, τότε, αυτή η συνάρτηση σας λέει πώς η συνάρτηση αλλάζει.
Δε σας δίνει αυτή την πληροφορία τόσο άμεσα όσο εδώ
όπου απλά σου δίνει την επόμενη τιμή.
Εδώ, η διαφορική εξίσωση σου δίνει
πόσο γρήγορα η συνάρτηση αλλάζει σε κάθε συγκεκριμένο x.
Η λύση σε μια διαφορική εξίσωση δεν είναι ακριβώς μια διακριτή τροχιά
αλλά μια συνεχής συνάρτηση.
Έτσι η λύση μπορεί να είναι μια συνάρτηση
x του t
t
εδώ είναι το x του t
και, ποιός ξέρει,
και πάλι, απλά σκαρφίζομαι ένα παράδειγμα.
Έτσι, αντί για ένα διάγραμμα χρονοσειράς (time series plot) το οποίο "χοροπηδάει"
είναι διακριτό,
εδώ έχουμε μια ομαλή καμπύλη,
ξεκινά από όπου βρίσκεται η αρχική συνθήκη
και αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα με το ποίες είναι οι οδηγίες που λαμβάνει
από τη διαφορική εξίσωση.
Να ένας τρόπος που μου αρέσει να σκέφτομαι τις διαφορικές εξισώσεις:
Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα δυναμικό σύστημα.
Ένα σύστημα το οποίο αλλάζει στο χρόνο
σύμφωνα με έναν καλά καθορισμένο κανόνα
Και εδώ είναι, σε γενικές γραμμές, ένα παράδειγμα ενός κανόνα
που μπορεί να σας δώσει ένα τρόπο να σκεφτείτε γι' αυτό
Λοιπόν, εδώ είναι μια συσκευή πλοήγησης ενσωματωμένη σε ένα iPhone
- και υπάρχουν παρόμοιες ενσωματωμένες σε πολλά αυτοκίνητα -
και της λες από που ξεκινάς
και σου δίνει ένα σύνολο οδηγιών
και αυτό το σύνολο οδηγιών σε οδηγούν στον προορισμό που εισήγαγες.
Οπότε, εδώ, έχω εισάγει πώς να πάω στο Bangor, Maine
απο εδώ που είμαι στο πανεπιστήμιο.
Και, αν πατήσω "εκκίνηση", θα μου δώσει, με μια ενοχλητική φωνή,
κάποιες οδηγίες σαν αυτή:
[φωνή GPS] "Έναρξη διαδρομής προς Bangor, ME. Κατευθυνθείτε ΝΔ στον Sea Urchin Rd."
Μου δίνει το πρώτο σύνολο οδηγιών
και τις ακολουθώ και βρίσκομαι σε μια διαφορετική τοποθεσία
επειδή έκανα αυτό που μου είπε, ακολουθώ τις οδηγίες.
Και μετά μου δίνει ένα διαφορετικό σύνολο οδηγιών
στη βάση του που βρίσκομαι τώρα.
Και, έτσι, ενημερώνει διαρκώς αυτό που μου λέει,
αυτό που μου λέει μεταβάλλεται καθώς κινούμαι,
καθώς η x τιμή μου αλλάζει στην εξίσωση,
και αυτό πάντα μου λέει τι να κάνω.
Έτσι, μια διαφορική εξίσωση είναι κάπως παρόμοια με αυτό,
εκτός του οτι, οι οδηγίες που μου δίνει δεν είναι ακρίβης τοποθεσία
"πήγαινε εδώ, πήγαινε εδώ, πήγαινε εδώ"
αλλά, αντ' αυτού, μου λένε πάντοτε πόσο γρήγορα να πάω,
ποια θα έπρεπε να είναι η παράγωγος μου,
ποια θα έπρεπε να είναι η ταχύτητα μου
και προς ποια κατεύθυνση θα πρέπει να βλέπω.
Έτσι, η διαφορική εξίσωση μου λέει διαρκώς
ποια θα πρέπει να είναι η παράγωγος,
ποια θα πρέπει να είναι η παράγωγος.
Σε κάθε σημείο, μου μιλάει διαρκώς
με την ενοχλητική της φωνή.
Και, με αυτόν τον τρόπο, προσδιορίζει μια καμπύλη στον χώρο.
Περίπου όπως... παρόμοια με μια επαναληπτική συνάρτηση
αυτός ο κανόνας, εφαρμοσμένος συνεχώς, προσδιορίζει μια τροχία.
Έτσι, οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα διαφορετικού είδους δυναμικό σύστημα
αλλά είναι αρκετά παρεμφερείς με τις επαναληπτικές συναρτήσεις:
είναι ένας κανόνας που προσδιορίζει μια τροχία στον χώρο
ή σε οτιδήποτε,
αρκεί να του δώσεις μια αρχική συνθήκη.
Οπότε, ας επανέλθουμε στην εξίσωση.
Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση αυτού του τύπου.
Η παράγωγος του x είναι συνάρτηση του x.
Έτσι, με λέξεις, αυτή η εξίσωση λέει το εξής:
ο ρυθμός μεταβολής του x, πόσο γρήγορα το x αυξάνεται ή μειώνεται,
αυτή είναι η παράγωγος,
δίνεται από, αυτό είναι το σύμβολο 'ίσον',
μια συνάρτηση του x.
Έτσι, καθώς το x αλλάζει, αυτός ο κανόνας, αυτή η συνάρτηση,
μου λέει πάντα, όχι την επόμενη τιμή του x,
αλλά πώς το x συνεχίζει να αλλάζει.
Οπότε, αυτό καθορίζει την αλλαγή του x
και από την αλλαγή του x
μπορούμε να βρούμε το x,
αυτό για το οποίο πραγματικά ενδιαφερόμαστε.
Για παράδειγμα, αν ξέρουμε την ταχύτητα και την κατεύθυνση,
μπορούμε να βρούμε τη θέση κάποιου ως συνάρτηση του χρόνου.
Στο επόμενο βίντεο θα δώσω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα αυτού
και θα δείτε πώς δουλεύει.