В последния под-модул, говорих за производни
може би твърде много.
Основната идея е, че
производната на количество е нейната
моментна скорост на промяна.
Казва ни колко бързо дадено количество нараства или се смалява в даден момент.
Готови сме да обсъдим диференциалните уравнения.
Те са друг тип динамична система.
В следващите няколко лекции,
ще дам няколко начина, по които могат да се разглеждат диференциалните уравнения
и как да ги решаваме
и какво може да означават тези решения.
Честно казано не съм сигурен в какъв ред да ги направя
но съм сигурен, че докато стигнем до края им,
ще добиете добра представа какво са диференциалните уравнения
и какво означават решенията им,
и как да ги разглеждаме като динамични системи.
Нека започнем.
Ще представим диференциалните уравнения, сравнявайки ги с итерирани функции,
първият тип динамични системи, които видяхме
Ето една итерирана функция.
От тази нотация е ясно, че ни трябва
начална стойност
и следващата стойност винаги можем да получим, прилагайки функцията към текущата
Следващата стойност в орбитата или маршрута е функция на текущата
и функцията вероятно ще има различни стойности, в зависимост от текущата стойност
Диференциалното уравнение намесва производната на функция.
Тук функцията е x от t
А това казва, че производната на x е функция на x
Нека го разгледаме стъпка по стъпка
Производната на x
това е моментната скорост на промяна на x
казва ни как x се променя
как x се променя зависи от x
е функция на x
ако ми кажете x, ще ви кажа колко бързо се променя
Тук, ако ми кажете xn, мога да намеря следващата стойност на xn
Когато решаваме итерирани функции,
ни трябва семе
и от него, можем да получим орбитата.
Първата итерация,
втората итерация,
третата итерация
и т.н.
За диференциалното уравнение ни трябва и
начално състояние, стартова точка,
която можем да запишем като x0
или като x във време 0
Трябва ви начална стойност за тази променлива
каквато и да е
и тогава тази функцията ти казва как се променя функцията.
Не ви дава тази информация директно, както тук
където просто ти дава следващата стойност.
Тук диференциалното уравнение ти казва
колко бързо функцията се променя за всяко x
Решението на диференциалното уравнение не е точно орбита, но е непрекъсната функция
Така че решението ще е функция
x от t
t
това е x от t
и кой знае...
отново, давам само пример
Та, вместо чертеж с времеви серии, който подскача наоколо
и е насечен,
това е гладка крива.
Започва при началното състояние
и нараства или се смалява според инструкциите, които получава
от диференциалното уравнение.
Ето начин, по който мисля за диференциалните уравнения.
Диференциалните уравнения са динамична система
Система, която се променя според определено правило.
Ето пример за правило, който може да ви даде насока в мисленето за това.
Ето, навигационно устройство, вградено в iPhone
Подобни неща има вградени в много автомобили
Задаваме стартова позиция
и то ни дава насоки
и сборът от тези насоки ще ви заведе до въведената дестинация
Въвел съм как да стигна до Бангор, Мейн
където е моят кампус.
Ако натисна Старт, ще ми даде с дразнещ глас някакви насоки като тези:
Глас на GPS: "Започва маршрут до Бангор, Мейн. Тръгнете на югогозапад по Сий Ърчин"
Дава ми първите инстукции.
Ако ги следвам, вече съм на друго място,
защото съм направил, каквото ми е казано, следвам насоките.
И ми дава други насоки
в зависимост от това, къде съм сега.
Непрекъснато обновява това, което ми казва
И то варира докато се движа
и стойността x се променя в уравнението,
и то винаги ми казва какво да правя
Диференциалното уравнение е сходно с тази
освен, че посоката която ми дава не е точна позиция.
Неща идват тук, тук, тук
Но вместо това винаги ми казва колко бързо да се движа
каква трябва да е производната ми
каква трябва да е скоростта ми
и в каква посока трябва да се насоча
Диференциалното уравнение ми казва непрекъснато
каква трябва да е производната
Във всяка точка, непрекъснато ми го казва
с дразнещия си малък глас.
По този начин чертае крива в пространството
Много подобно на итерирана функция
правилото прилагано непрекъснато определя орбита
Диференциалните уравнения са друг тип динамична система
но са много сходни с итерираните функции.
Правило, което определя път в пространството
или в каквото и да е
стига да му зададете начално състояние.
Нека погледнем отново уравнението
Диференциално е уравнение в тази форма
Производната на x е функция на x
Изразено с думи, казва следното:
скоростта на промяна на x, колко бързо x нараства или намалява
това е производната
и е дадена от, това е знак за равенство,
функция на x.
Докато x се променя, това правило, тази функция
винаги ми казва не следващата стойност на x,
но как x продължава да се променя.
Това определя промяната в x
и от тази промяна в x
можем да намерим x
това, което всъщност ни интересува.
Например, ако знаем скоростта и посоката
можем да намерим позицията като функция от времето
В следващата лекция, ще направим пример,
и ще видим как работи.