في الوحدة الفرعية الأخيرة، تحدثت قليلاً عن المشتقات،
ربما تحدثت كثيراً.
لكن، النقطة الرئيسية أنّ
مشتق المقدار هو
نسبة التغيير الآني.
إنّه يخبرك بأي سرعة يزداد أو ينقص المقدار عند لحظة معينة من الزمن.
نحن الآن مستعدين للتحدّث عن المعادلات التفاضلية.
إنّهم نوعٌ آخر من الأنظمة الديناميكية.
في المحاضرات العديدة التالية،
سأعطيكم عدد من الطرق المختلفة للتفكير بالمعادلات التفاضلية.
وكيف تحلوهم،
وماذا قد تعني هذه الحلول.
لأكون صادق،أنا لست متأكدٌ تماماً من الترتيب المناسب في المحاضرات العديدة التالية،
لكنّي واثق بأنّ الوقت الذي سنصل به لنهايتهم،
سيكون لديكم إدراك جيد جيداً لما تعنيه المعادلات التفاضلية،
ماذا تعني حلولهم،
وكيف تفكر يهم كأنظمة ديناميكية.
إذاً دعونا نبدأ.
سأقدّم المعادلات التفاضلية من خلال مقارنتهم بالتوابع التكرارية،
النوع الأول من الأنظمة الديناميكة الذي درسناه.
إذاً، ها هنا تابع تكراري.
هذا الترميز يوضح أنّنا نحتاج
قيمة أولية
وثمّ نستطيع دائماً أن نحصل على القيمة التالية من خلال تطبيق الدالة للقيمة الحالية.
إذاً القيمة التالية في المدار أو مسار الرحلة هي دالة للقيمة الحالية.
وهذه الدالة على الأرجح سيكون لديها قيم مختلفة اعتماداً على ماهية القيمة الحالية.
المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن مشتق الدالة.
إذاً ها هنا الدالة إنّها x لـ t.
وهذا يقول أنّ مشتق الـ x هو دالة الـ x.
حسناًً، دعونا نفك هذا.
مشتق الـ x
هذا يعني نسبة التغيير الآنية لـ x
إذاً هذا يخبرنا كيف تتغير x
كيف تتغير x اعتماداً على x
إنّها دالة لـ x
إن أخبرتني ماهي x، أستطيع أن أخبرك سرعة تغيير x.
هنا، إن أخبرتني xn، أستطيع أن أكتشف القيمة التالية لـ xn.
عندما يحل أحدٌ ما تابع تكراري،
يحتاج لبذرة
ومن هذا، يستطيع أن يكتشف المدار.
التكرار الأول،
التكرار الثاني،
التكرار الثالث،
وهكذا.
للمعادلة التفاضلية، تحتاج أيضاً إلى
شرط إبتدائي، نقطة بداية
والتي تستطيع كتابتها x0
أو ربما تكتبها كـx عند الزمن 0
إذاً تحتاج لقيمة أوليّة لهذا المتغيّر
أيّاً كانت
ومن ثمّ هذه الدالة تخبرك كيف تتغير الدالة.
لا تعطيك المعلومة مباشرةً تماماً كما تعطيها هنا
حيث تخبرك فقط بالقيمة التالية.
هنا، المعادلة التفاضلية تخبرك
سرعة تغيير التابع عند أي x معطاة
الحل لمعادلة تفاضلية ليس مدار منفصل تماماً، لكنّه دالة مستمرة.
إذاً الحل سيكون دالة
x لـ t
t
هناك x لـ t
ومن يعرف…
مجدداً، أنا فقط أختلق مثال.
إذاً، بدلاً من رسم سلسلة زمنية بياني والذي يقفز حولها
إنّه منفصل فقط،
ها هنا مُنحنى أملس
يبدأ عند الشرط الإبتدائي مهما كان
وثمّ يتزايد أو يتناقص وفقاً للتعليمات المعطاة أيّاً كانت
من المعادلة التفاضلية
ها هنا طريقة أحب أن أفكر بها بالمعادلات التفاضلية.
المعادلات التفاضلية هي نظام ديناميكي.
نظام يتغير بالزمن وفقاً لقاعدة مخصصة جيداً.
وها هنا، بشكل تقريبي، مثال لقاعدة تستطيع أن تعطيك طريقة لتفكر بهذا.
إذاً، ها هنا جهاز ملاحة مُقام داخل آيفون.
وهناك أشيء مشابهة مُقامة داخل سياراتٍ عدّة.
وأنت تخبرها أين تبدأ أنت.
وثمّ تعطيك مجموعة من الاتجاهات
ومجموعة الاتجاهات هذه تجلبك للوجهة التي أدخلتها.
إذاً هنا، أدخلت كيف أصل لبانغور، ماين
من حيث أتواجد بحَرم الجامعة.
وإذا ضغطت أبدأ، ستعطيني صوتٌ مزعج، بعض الاتجاهات كهذه:
صوت GPS: "بداية الطريق لبانغور، ماين. توجه إلى الجنوب الغربي على طريق Sea Urchin
إذاً، تعطيني مجموعتي الأولى من الاتجاهات.
وأفعل هذا، وأنا في موقع مختلف
لأني فعلت ماقيل لي، اتبعت الاتجاهات.
وثم تعطيني مجموعة مختلفة من الاتجاهات
مبنية على أين أتواجد حالياً
وإذاً إنّها تُحدّث باستمرار ماذا تخبرني.
الذي تخبرني به يتغير كلما تحركت،
كما تتغير قيمتي x بالمعادلة،
ودائماً تخبرني بماذا أفعل.
إذاً، المعادلة التفاضلية نوع مشابه لهذا
باستثناء، الاتجاهات التي تعطيني إياها ليست موقع مباشر.
أشياء تذهب هنا، تذهب هنا ، تذهب هنا.
لكن بدلاً من هذا، إنّها تخبرني دائماً بأي سرعة أذهب.
ماذا يجب أن يكون مشتقي
ماذا سرعتي يجب أن تكون
وأي اتجاه يجب أن أشير
إذاً، المعادلة التفاضلية تخبرني باستمرار
ماذا يجب أن يكون المشتق
عند كل نقطة، إنّه يتحدث معي باستمرار
بصوته المزعج الصغير.
وبهذه الطريقة، يحدّد منحني خلال الفراغ
نوعاً ما، مشابه جداً للمدار الذي يحدده تابع تكراري وفق قاعدة مطبقة
إذاً، المعادلات التفاضلية هي نوع مختلف من النظام الديناميكي.
لكنها مشابهة جداً للتوابع التكرارية.
إنّها قاعدة تحدد مسار خلال الفراغ،
أو خلال أي شيء،
طالما تعطيها شرط إبتدائي
إذاً دعونا نعود لننظر للمعادلة.
معادلة تفاضلية هي معادلة بهذا الشكل.
مشتق الـ x هو دالة لـ x.
إذاً، في كلمات، هذه المعادلة تقول التالي:
نسبة التغيير لـ x، مدى سرعة x بالتناقص أو بالتزايد
هذا المشتق
تعطى من خلال هذا يمثل بعلامة المساواة
دالة لـ x.
إذاً كلما تتغير x، هذه القاعدة، هذه الدالة
دائماً تخبرني ليس القيمة التالية لـ x،
ولكن كيف تستمر x بالتغيير.
إذاً، هذا يحدد التغيير في x
ومن التغيير في x،
نستطيع أن نكتشف x،
الشيء ذاته المهتمين به.
كمثال، إذا عرفت السرعة والاتجاه،
نستطيع أن نعرف موقعك كدالة للزمن.
في المحاضرة التالية، سأقوم بمثال دقيق لهذا،
وسترى كيف يعمل