Η διαδικασία του να κάνουμε το Δt όλο και μικρότερο
με τρόπο ώστε να φτάσουμε σε ένα που έχει στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής
μπορεί να παρουσιαστεί και πιο γραφικά.
Αυτό μπορεί να σας δώσει έναν ακόμη τρόπο να απεικονίσετε αυτή τη διαδικασία
και, γενικότερα, να σκεφτείτε σχετικά με
τι είναι ο διαφορικός λογισμός.
Έτσι, σαν σημείο εκκίνησης, ας υποθέσουμε οτι έχουμε μια καμπύλη,
κάποια εξίσωση η οποία μπορεί να μοιάζει έτσι.
Και αυτή η καμπύλη μπορεί να αντιπροσωπεύει
την αύξηση κάποιας διαδικασίας,
ποιός ξέρει, δεν έχει σημασία, είναι απλά μια καμπύλη
και, έπειτα, κάποιος σας ζητάει να βρείτε την κλίση της καμπύλης -
αυτό θα μπορούσε να είναι η στιγμιαία ταχύτητα
ή ο στιγμιαίος ρυθμός αύξησης.
Θα μπορούσατε να πείτε:
"Λοιπόν, δε ξέρω πώς να βρω την κλίση μιας καμπύλης.
Η κλίση είναι ιδιότητα μιας ευθείας γραμμής
και η καμπύλη δεν είναι ευθεία γραμμή"
αλλά, αχα, τότε μπορεί να σας έρθει μια ιδέα!
Κοιτάτε την καμπύλη - την κοιτάω τώρα -
και μοιάζει σαν καμπύλη. Μπορώ να την δώ να κλίνει,
όμως, αν κοιτάξω πολύ, πολύ κοντά -
μεγενθύνω μέχρι το μάτι μου να είναι σχεδόν πάνω της -
μοιάζει σαν ευθεία γραμμή
και ξέρω πώς να βρώ την κλίση μιας ευθείας γραμμής.
Οπότε, για να βρω την κλίση σε κάποιο σημείο,
απλά μεγενθύνω μέχρι να μοιάζει ικανοποιητικά σαν ευθεία
και τότε βρίσκω την κλίση - εύκολο.
Οπότε, αυτή η ιδέα, οτι αν πάρεις μια καμπύλη
και ζουμάρεις αρκετά πάνω της τότε μοιάζει σαν ευθεία
και μπορείς να υπολογίσεις την κλίση αυτής της ευθείας,
αυτή είναι η μία μεγάλη ιδέα
πίσω από όλον τον διαφορικό λογισμό.
Οπότε, στον πρώτο όρο μιας ακολουθίας λογισμού
ξοδεύει κανείς συνήθως περισσότερο χρόνο
ορίζοντας αυτό πολύ πιο προσεκτικά
και, μετά, εξερευνώντας τις συνέπειες του.
Υπάρχει και ένας ακόμη τρόπος να παρουσιάσουμε το γεγονός οτι
το να μεγενθύνουμε μια καμπύλη
την κάνει να μοιάζει σαν μια ευθεία γραμμή.
Εδώ είναι μια συνάρτηση καμπύλης,
κοιτάζοντας την από αυτή την απόσταση
σίγουρα δεν μοιάζει ευθεία.
Και τώρα φανταστείτε οτι μεγενθύνουμε
οπότε φέρνω τη συνάρτηση
όλο και πιο κοντά στην κάμερα
και βλέπετε οτι η καμπύλη αρχίζει να
μοιάζει όλο και περισσότερο σαν μια ευθεία γραμμή.
Αν δεν μοιάζει ικανοποιητικά ευθεία, μπορείτε να μεγενθύνετε περισσότερο.
Εγώ είμαι περιορισμένος επειδή κάποια στιγμή θα χτυπήσω
το φακό της κάμερας και δε θα μπορώ να μεγενθύνω περαιτέρω.
Αλλά, αν μεγενθύνετε περισσότερο και περισσότερο και περισσότερο,
η γραμμή μοιάζει πιο ευθεία και πιο ευθεία και πιο ευθεία.
Μπορείτε να το δοκιμάσετε και στο σπίτι:
ζωγραφίστε μια καμπύλη σε ένα κομμάτι χαρτί, μεγενθύνετε
και θα δείτε οτι πραγματικά μοιάζει σαν ευθεία γραμμή
οπότε ο διαφορικός λογισμός δουλεύει