Процесът на намаляване на делта t
за да достигнем до моментната скорост на промяна
може да се разгледа графично.
Това може да ви даде нов поглед върху процеса
и, по-общо, върху идеята за
същността на диференциалното смятане.
За начална точка, нека имаме крива -
някаква функция, може да изглежда така,
и тази крива представлява ръст на някакъв процес -
кой знае, няма значение - крива е.
И някой иска да намерите наклона на кривата -
това е като моментна скорост,
или скорост на растежа.
Може би не знаете как да намерите наклона на крива -
наклонът е свойство на правата линия
а кривата не е права линия
но имате идея.
Поглеждате кривата - сега я гледам,
изглежда като крива - виждам, че се огъва
но, ако погледна наистина близо,
приближавам докато окото ми почти се допира до нея
изглежда като права линия
а знам как да намеря наклон на права линия
така че, за да намерим наклона в точка,
ще приближавам, докато изглежда съвсем като линия
и тогава ще намеря наклона - няма проблем.
Това е идеята - че, ако имате крива
и я уголемите, дотолкова, че да изглежда като линия
можете да изчислите наклона на линията,
Това е голямата идея
зад цялото диференциално смятане.
В първите уроци по диференциално смятане,
обикновено се прекарва повечето време
във внимателно дефиниране на това,
и изследване на последствията от него.
Ето още един начин да илюстрираме факта,
че приближаването на крива
я прави да изглежда като права линия.
Ето я кривата на функция,
гледана от разстояние,
определено не изглежда права
а това е приближение на картината -
приближавам функцията
все повече и все повече
и виждате, че кривата започва да
изглежда все повече като права линия
Ако не е достатъчно права, можете да увеличите още
ограничен съм защото евентуално ще допра
обектива на камерата и няма да мога да приближа повече
но ако уголемите повече и повече,
линията изглежда все по-права и по-права,
и може да пробвате вкъщи -
нарисувайте крива на хартия, приближете я
и ще видите, че наистина изглежда като права линия,
и диференциалното смятане работи.