عملية ترك دلتا t تصبح أصغر وأصغر
للوصول إلى نسبة آنية للتغيير
يمكن أيضاً أن تُعرض بيانياً.
هذا ربما يعطيكم طريقة أخرى لتتصورا هذه العملية
وبشكلٍ أعم. للتفكير بـماهية المعادلات التفاضلية.
إذاً، كنقطة البداية افترض أنّه لدينا مُنحنى -
دالةٌ ما ربما تبدو هكذا.
وهذا المُنحنى يستطيع أن يمثّل التطوّر لعملية ما -
من يعرف، لا يهم - إنّه مُنحنى فقط،
وثمّ شخصٌ ما سألك لتجد ميل المُنحنى -
هذا سيكون كالسرعة الآنية،
السرعة الآنية، أو نسبة التطوّر.
ربما تقول، حسناً، لا أعرف كيف أجد ميل المُنحنى -
الميل هو خاصية الخط المستقيم
والمُنحنى ليس خط مستقيم
لكن اها، ثمّ ربما تخطرلك فكرة.
تنظر للمُنحنى - أنا أنظر إليه الآن،
حسناً يبدو كمُنحنى - أستطيع رؤيته يتقوس
ومع ذلك، إذا نظرت عن قرب جداً -
أكبّره حتى تصبح عيني مقابلته تقريباً،
يبدو كخط مستقيم
وأنا أعرف كيف أجد الميل لخط مستقيم،
إذاً، لإيجاد ميل عند نقطة،
أكبّره فقط حتى يشبه الخط على نحوٍ كافٍ
وثمّ أجد الميل - ليست مشكلة كبيرة.
إذاً هذه الفكرة بأنّ، إذا أخذت مُنحنى
وكبّرته، حتى يصبح يشبه الخط.
وبإمكانك حساب الميل للخط،
هذه هي الفكرة الكبيرة الواحدة
خلف كل المعادلات التفاضلية.
إذاً، الفصل الأول من حساب التفاضل والتكامل
أحدٌ ما عادةً يقضي معظم الوقت
معرّفاًً هذا بشكل حذر أكثر،
وثمّ اكتشاف النواتج عنه.
ها هنا طريقة أخرى لتصوّر هذه الحقيقة
أنّ تكبير المُنحنى
يجعله يبدو كخط مستقيم.
إذاً، ها هنا دالة منحنية،
مُشاهدة من هذه المسافة،
إنّها بالتأكيد لاتبدو كخط مستقيم،
والآن تخيل التكبير -
إذاً سأننقل الدالة
أقرب وأقرب للكاميرا
ويجدر بك أن ترى أنّ هذا المُنحنى يبدأ
ليبدو خط مستقيم أكثر فأكثر.
إن لم يبدو كخط مستقيم على نحوٍ كافٍ تستطيع أن تكبر أكثر.
أنا مقيّد لأني في آخر الأمر سأصدم
غطاء العدسة للكاميرا ولا أستطيع أن أكبّر أكثر من ذلك
لكن إذا كبّرت أكثر وأكثر، وأكثر وأكثر،
الخط يبدو مستقيماً أكثر فأكثر،
ويمكنك أن تجرب هذا بالمنزل -
أرسم منحنى على قطعة ورق، كبّرها
وسترى أنّ ستبدو حقّاً كخط مستقيم،
إذاً الحساب التفاضلي بعمل.