Permítanme generalizar esta idea de la velocidad media.
Así, la velocidad media desde el instante (tiempo)1 (t₁) al instante (tiempo)2 (t₂),
en algún intervalo de tiempo a lo largo de su viaje,
es simplemente la distancia recorrida durante ese intervalo de tiempo,
desde el instante 1 (t₁) al instante 2 (t₂), dividido por cuanto tiempo tomó,
esto es el tiempo final menos el tiempo inicial (t₂ - t₁).
Sigue siendo una distancia sobre un tiempo.
Y esta distancia es cuan lejos ha viajado durante este tiempo.
OK. Así, el problema con esto es que todavía no han respondido a la pregunta.
¿Que tan rápido estaba yendo exactamente a los 10 minutos de la trayectoria?
Entonces, la pregunta es ¿Que tan rápido estaba yendo exactamente a los 10 minutos en su trayectoria?
y no cual es su velocidad promedio desde 9 a 11
sino cual era la velocidad exactamente con t=10
Bueno, ya sabemos cómo calcular la velocidad utilizando esta fórmula,
pero esta fórmula requiere dos tiempos, y estamos realmente dando uno.
Así que esto es durante un intervalo de tiempo de t₁ a t₂,
pero deseo saber el tiempo exactamente 10
Entonces, estamos en un pequeño aprieto
y el cálculo, y esta idea de derivada va a sacarnos del aprieto.
Así pues, aquí es lo que hacemos
Tomamos un intervalo de tiempo, tal vez a partir de t = 10 t = 11,
y entonces calculamos la velocidad media para este (intervalo).
Así, podríamos decir que la velocidad a exactamente t = 10,
es la velocidad media de t = 10 a t = 11.
Pero, usted podría objetar esto y decir, bueno, esto no puede estar bien
porque la velocidad podría estar cambiando.
Tal vez usted está acelerando o desacelerando mucho
a medida que avanza a partir del minuto 10 al minuto 11
Así que esto realmente no es su velocidad a exactamente t = 10.
Esto podría estar cambiando. Esto no es una forma precisa de mirarlo.
Entonces, esta es una objeción razonable realmente
y aquí hay una manera en la que podríamos abordarla.
Digamos, OK, sí, tienes razón, la velocidad podría estar cambiando de 10 a 11,
así que hay (pasa) si inserto un intervalo más pequeño?
Iré 10-10,1.
Eso es sólo una décima parte de un minuto, sin duda, la velocidad no está cambiando mucho.
Así que la velocidad media es una buena aproximación a la velocidad exactamente en t = 10.
Y usted podría objetar de nuevo.
Bueno, ¿cómo lo sabes? Tal vez usted está acelerando o desacelerando mucho.
Tal vez se detuvo solo por un instante aquí
por eso esta velocidad media no es una buena representación,
no es una buena aproximación a esta velocidad exacta.
OK, bueno, esta es otra vez una objeción razonable.
Así que, bien, voy a tratar esto (lo siguiente).
Tal vez sólo voy a calcular la velocidad media de t = 10 a 10,01.
Y de nuevo usted puede objetar objetar, así,
si, este es realmente un intervalo de tiempo muy pequeño,
pero aún así su velocidad podría estar cambiando en este intervalo de tiempo,
así que no es una buena aproximación o representación
de la velocidad en este instante particular.
Así que, de nuevo, puedo admitir esta objeción
y podríamos seguir discutiendo hacia atras y hacia adelante
y así sucesivamente y seguir y seguir,
considerando un intervalo de tiempo más, más pequeño y más pequeño aquí.
Y así, la forma de salir de este aprieto
- Por lo que parece que podríamos jugar a este juego para siempre -
es acordar que si la parte derecha se acerca más y más a algo,
entonces se dice que es la velocidad exactamente en t = 10