Θα ήθελα τώρα να γενικεύσω αυτή την ιδέα της μέσης ταχύτητας.
Οπότε, η μέση ταχύτητα από τον χρόνο 1 (t₁) στον χρόνο 2 (t₂),
κάποιο διάστημα κατά τη διάρκεια της διαδρομής σας
είναι απλά η απόσταση που διανύσατε σε αυτό το διάστημα,
από τον χρόνο 1 (t₁) στον χρόνο 2 (t₂), διά το πόσο χρόνο πήρε αυτό το διάστημα,
αυτόν τον τελικό χρόνο μείον τον αρχικό χρόνο (t₂ - t₁).
Είναι ακόμη απόσταση προς κάποιο χρόνο.
Και αυτή η απόσταση είναι πόσο μακριά πήγατε σε αυτό το χρόνικό διάστημα.
Οκ, το πρόβλημα με αυτό είναι οτι ακόμη δεν έχουμε απαντήσει αυτή την ερώτηση:
Πόσο γρήγορα πηγαίνατε ακριβώς στο 10ο λεπτό της διαδρομής σας;
Άρα, η ερώτηση είναι: "Πόσο γρήγορα πηγαίνατε
ακριβώς στο 10ο λεπτό της διαδρομής σας"...
Όχι "Ποιά ήταν η μέση ταχύτητα σας απο το 9ο ώς το 11ο"
αλλά "Aκριβώς στο t=10, ποιά ήταν η ταχύτητα σας;"
Λοιπόν, ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε την ταχύτητα με αυτόν τον τύπο.
Αλλά ο τύπος χρειάζεται δύο τιμές και, στην πραγματικότητα,
εμείς έχουμε μόνο μία.
Οπότε αυτό είναι κατά τη διάρκεια κάποιου χρονικού διαστήματος t₁ έως t₂
αλλά εγώ θέλω να μάθω για την ώρα ακριβώς στο 10
Έτσι, είμαστε σε μια κάπως δύσκολη θέση και ο λογισμός
και αυτή η ιδέα της παραγώγου θα μας βγάλουν από αυτή τη δύσκολη θέση.
Οπότε, να τι θα κάνουμε: θα πάρουμε ένα χρονικό διάστημα
ίσως από t=10 έως t=11
και θα υπολογίσουμε τη μέση τιμή για αυτό.
Έτσι, μπορούμε να πούμε οτι η τιμή ακριβώς στο t=10
είναι η μέση τιμή από t=10 έως t=11.
Αλλά μπορεί να διαφωνήσετε και να πείτε "Αυτό δεν μπορεί
να είναι σωστό γιατί η ταχύτητα μπορεί να αλλάζει.
Μπορεί να επιταχύνεις ή να επιβραδύνεις αρκετά
από το 10ο έως το 11ο λεπτό.
Οπότε αυτή δεν είναι πραγματικά η ταχύτητα σου ακριβώς στο t=10,
μπορεί να αλλάζει
και αυτός δεν είναι ένας ακριβής τρόπος υπολογισμού".
Αυτή είναι μια πολύ λογική ένσταση στην πραγματικότητα.
Και υπάρχει ένας τρόπος που μπορούμε να τη διευθετήσουμε.
Θα μπορούσατε να πείτε, οκ, ναι, έχεις δίκιο
η ταχύτητα μπορεί να αλλάζει από το 10 στο 11,
οπότε τι θα συμβεί αν υπολογίσω ενα μικρότερο διάστημα;
Θα πάω από το 10 στο 10.1.
Αυτό είναι μόνο ένα δέκατο του λεπτού
σίγουρα η ταχύτητα δεν αλλάζει ιδιαίτερα.
Έτσι, η μέση ταχύτητα είναι μια καλή εκτίμηση
της ταχύτητας ακριβώς στο t=10.
Και μπορεί να διαφωνήσετε και πάλι:
"Και πώς το ξέρεις; Ίσως επιταχύνεις και επιβραδύνεις
πολύ και ίσως στάματησες για μια στιγμή εδώ
και έτσι η μέση ταχύτητα δεν είναι
μια καλή αναπαράσταση, δεν είναι μια καλή εκτίμηση
αυτής ακριβώς της ταχύτητας".
Οκ, και πάλι αυτή είναι μια λογική αντίρρηση.
Οπότε, εντάξει, θα δοκιμάσω αυτό.
Ίσως θα υπολογίσω τη μέση τιμή
από t=10 έως t=10.01.
Και πάλι μπορεί να διαφωνήσετε:
"Λοιπόν, ναι, αυτό είναι ένα πραγματικά μικρό χρονικό διάστημα
αλλά, και πάλι, η ταχύτητα σου θα μπορούσε να αλλάζει
σε αυτό το διάστημα, οπότε αυτή δεν είναι μια καλή εκτίμηση ή
αναπαράσταση της ταχύτητας σε αυτή τη συγκεκριμένη στιγμή".
Και πάλι θα απαντούσα σε αυτή την ένσταση
Και θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε να επιχειρηματολογούμε, μπρός και πίσω,
και ούτω κάθεξης
παίρνοντας μικρότερα και μικρότερα και μικρότερα
χρονικά διαστήματα εδώ.
Και έτσι, ο τρόπος να βγούμε από τη δύσκολη αυτή θέση
- μοιάζει οτι θα μπορούσαμε να παίζουμε αυτό το παιχνίδι για πάντα -
είναι να συμφωνήσουμε οτι, αν αυτή η δεξιά πλευρά πλησιάζει και πλησιάζει
σε κάτι, τότε θα λέγαμε οτι αυτό είναι η ταχύτητα ακριβώς στο t=10.