Нека да генерализирам идеята за средна скорост
Средната скорост от време 1 (t1) до време 2 (t2)
някакъв интервал от пътуването ви
е просто изминатият път през този интервал
от време 1 (t1) до време 2 (t2), разделено на изминалото време,
крайното време минус началното време (t2-t1)
Това е разстояние разделено на време
И това разстояние е колко далеч сте стигнали през това време
Проблемът е, че все още не сме отговорили на въпроса:
Колко бързо сте се движили в точно 10 минути след началото на пътуването?
Въпросът е, колко бързо сте се движили точно 10 минути след началото на пътуването.
Не каква е средната ви скорост между 9 и 11?
В точно t=10, каква е скоростта?
Знаем как да изчислим скоростта, използвайки тази формула
Но тази формула изисква две времена, ни е дадено само едно
Та, това е в някакъв интервал от t1 до t2,
но искам да знам времето в точно 10.
Ситуацията е заплетена, но диференциалното смятане
и тази идея за производна, ще ни помогнат с разплитането.
Ето как: Взимаме времеви интервал
може би от t=10 до t=11
и изчисляваме средната скорост за това
И може да кажем, че скоростта в точно t=10
това е средната скорост от t=10 до t=11
Но може да възразите и да кажете "това не е
вярно, защото скоростта може да се промени.
Може би ускоряваме или забавяме много
минавайки от минута 10 в минута 11.
Така че това не е скоростта в точно t=10, тя може да се променя
и това не е точен метод за определянето й."
Това е разумно възражение, всъщност.
Ето един начин да се справим с него.
Може да кажете, да, прав си, за това че
скоростта може да се променя
от 10 до 11, а ако врема по-малък интервал?
Ще взема от 10 до 10.1
Това е само 1 десета от минута
Със сигурност скоростта не се променя много
Така че средната скорост е добро предположение
за скоростта в точно t=10
Отново може да възразите:
"Откъде знаеш? Може би ускоряваш или забавяш
твърде много, може да си стрял за момент тук
така че средната скорост не е
добър пример, не е добро приближение към точната скорост"
ОК, отново разумно възражение.
Може би мога да пробвам това
Мога да изчисля средната скорост
от t=10 до t=10.01
И отново може да възразите
"Това е наистина малък интервал
но скоростта може да се променя
в него, така че не е добро приближение или
репрезентация на скорростта в този точен
момент." И отново реагирам на това възражение
и може да продължим да спорим
отново и отново
взимайки все по-малки и по-малки
интервали от време. Така че развръзката на ситуацията
(изглежда можем да играем тази игра завинаги)
е да се съгласим, че ако дясната страна се приближава все повече
до нещо, то тогава това е скоростта точно в t=10