دعوني أعمم فكرة السرعة المتوسطة.
إذاً، السرعة المتوسطة من الزمن 1 (t1) إلى الزمن 2 (t2)،
مجال زمني ما على طول رحلتك،
إنّها فقط المسافة التي اجتزتها خلال المجال الزمني،
من الزمن 1 (t1) إلى الزمن 2 (t2)، مقسمة على مقدار الوقت أخذ هذا الزمن،
الزمن النهائي ناقص الزمن البدائي (t1 - t2).
لا تزال المسافة تقسيم الزمن.
وهذه المسافة هي كم اجتزت خلال هذا الزمن.
حسناً، إذاً المشكلة بهذا أننا مازلنا لم نُجب السؤال:
كم كانت سرعتك 10 دقائق تماماً من انطلاقتك؟
إذاً السؤال هو: كم كانت سرعتك 10 دقائق تماماً من انطلاقتك....
وليس ماذا كانت سرعتك المتوسطة من 9 إلى 11 ؟
لكن، عند t = 10 تماماً، ماهي سرعتك ؟
حسناً، نعرف كيف نحسب السرعة باستخدام هذه المعادلة.
لكن هذه المعادلة تتطلب زمنين ولقد أُعطينا زمن واحد فقط.
إذاً هذا خلال مجال زمني من t1 إلى t2،
لكن أريد أن أعرف السرعة عند 10 تماماً.
إذاً، نحن نوعاً ما مقيدين، والتفاضل والتكامل
و فكرة المشتق هذه سوف تُخرجنا من هذا القيد.
إذاً ها هنا ما سنفعل: نأخذ الفاصل الزمني
ربما من t=10 إلى t=11
وثمّ نحسب السرعة المتوسطة لهذا.
إذاً من المحتمل أن نقول أنّ السرعة عند t=10 تماماً
هي السرعة المتوسطة من t=10 إلى t=11
لكن ربما تعترض وتقول، هذا لا يمكن
أن يكون صحيحاً لأنّ السرعة ربما تتغير.
ربما تسرع أو تبطئ كثيراً
عندما تذهب من الدقيقة 10 إلى الدقيقة 11.
إذاً في الواقع هذه ليست سرعتك عند t=10 تماماً، من الممكن أنّها تتغير
وهذه ليست طريقة دقيقة للبحث عنها."
إذاً هذا اعتراض معقول، حقاً.
وها هنا طريقة واحدة نستطيع معالجتها.
تستطيع أن تقول، حسناً، أجل، أنت محق
السرعة ربما تكون متغيرة
من 10 إلى 11،إذاً ماذا لو درست فاصل أصغر؟
سأذهب من 10 إلى 10.1
هذا فقط عُشر دقيقة.
السرعة لا تتغير كثيراً بلا شك.
إذاً السرعة المتوسطة هي قيمة تقريبية جيدة
السرعة عند t=10 تماماً.
وربما تعترض مجدداً:
"حسناً، كيف تعرف؟ ربما أنك تسرع أو تبطئ
كثيراً وربما توقفت للحظة واحدة فقط
هنا إذاً السرعة المتوسطة هذه ليست
تمثيل جيد، ليس قيمة تقريبية جيدة للسرعة الدقيقة هذه
حسناً، هذا مجدداً اعتراض معقول.
حسناً إذاً، حسناً سأجرب هذا.
ربما سأحسب فقط السرعة المتوسطة
من t=10 إلى t=10.01
ومجدداً ربما تعترض
"حسناً، نعم، هذا حقاً فاصل زمني صغير
لكن مع ذلك، سرعتك ممكن أن تكون متغيرة في
هذا الفاصل الزمني، إذاً إنّها ليست قيمة تقريبية جيدة أو
تمثيل بهذه السرعة عند هذه اللحظة
المعينة. "إذاً مجدداً أستطيع أن أواجه هذا الاعتراض
ونستطيع أن نستمر بالمجادلة ذهاباً وإياباً
وهكذ... وهكذا... وهكذا
بدراسة فاصل زمني هنا أصغر و أصغر وأصغر
وإذاً الطريقة للخروج من هذا القيد
(يبدو أننا نستطيع أن نلعب هذه اللعبة للأبد)
هي الموافقة على أنّ الطرف الأيمن يقترب أكثر وأكثر
لشيءٍ ما، ثمّ نقول هذه هي السرعة عند t=10 تماماً.