En esta lección voy a explicar la idea de la derivada
que es la idea clave del cálculo diferencial
Si ha seguido un curso de Cálculo diferencial
o se siente cómodo con sus conocimientos
puede saltar este vídeo
ya que se trata de un material convencional
Empezamos pensando sobre velocidades de cambio
Por ejemplo
supongamos que se dan un paseo de 30 minutos
y que, al final de esos 30 minutos, han viajado 21 kilometros
y que quieren saber a que velocidad media han viajado.
¿Cuá ha sido mi velocidad media durante este viaje?
Podemos calcularlo como sigue:
La velocidad media - cómo han viajado en los últimos 30 minutos en la bicicleta
es simplemente el cambio en posición,
esto es, cuanto se han movido, dividido por el cambio en tiempo
Esto es, tiempo que han utilizado
o cuanto tiempo han estado dando pedales.
En forma simbólica, frecuentemente se escribe delta s sobre delta t,
delta es este triangulo que significa "cambio en"
aquí nos referimos a: cambio en posicion, a qué distancia se han movido
y como han viajado 21 kilometros en 30 minutos
el resultado sera 0,7
y las unidades será kilometros por minuto
Ahora bien, esto no significa que
en cada instante se desplazaran a exactamente 0,7 kilometros por minuto
Muy probablemente, a veces hayan viajado más rápido y a veces, más despacio
más rápidos cuesta abajo, despacio cuesta arriba, rápido cuando se sentían con fuerzas,
despacio cuando estuvieran cansados
pero esto es una media. No han ido siempre a la misma velocidad,
pero, en media, esta es su velocidad
Entonces pueden hacer otra pregunta: ¿a qyé velocidad viajaban diagamos...
10 minutos, justo 10 minutos después de empezar?
Esta es una pregunta distinta.
Si la pregunta es la velocidad
en un instante particular, no en media durante los 30 minutos,
la pregunta es más dificil y sutil
Una forma de responder seria:
mirar la velocidad media durante un tiempo cercano
a ese punto de 10 minutos despues de empezar.
Pongamoslo por escrito:
Asi, podrían decir: la velocidad media
desde t igual a 9 a t igual a 11 minutos,
esto es, la misma idea de velocidad media, pero ahora sobre un intervalo mucho mas corto,...
y notar que el instante 10 minutos está justo entre 9 y 11
y entonces, ¿cual será la distancia viajada durante ese intervalo?
en este caso, no durante todo el viaje,
sino solo desde t entre 9 y 11
y si entonces se divide por el tiempo que ha pasado
que será exactamente 2 minutos
Asi pues, eso seria,
y para dar un número para ser concretos
puede ser que en esos 2 minutos, para t entre 9 y 11
digamos que han viajado 1,2 kilometros
dividido por 2 minutos
entonces seria 0,6 kilometros por minuto
Asi pues, la velocidad media
para t entre 9 y 11, en este caso, (me estoy inventado los números
para tener algo de que hablar.)
es un poco menos que la velocidad media
porque han viajado un poco mas despacio de la media durante ese tiempo