В този подмодул, ще представя идеята за производна,
която е централна за диференциалното смятане
Ако сте учили тази материя наскоро
и се чувствате комфортно с нея
вероятно можете да пропуснете това видео
понеже материалът е стандартен.
Започваме, мислейки за скоростта на промяна
Например, да вземем,
30 минутно пътуване с велосипед
в края на 30-те минути, сте изминали 21 км
и искате да разберете средно колко бързо сте се движили.
Каква е била средната ми скорост в това пътуване?
Можем да го изчислим по следния начин:
Средната скорост - колко бързо сме се движили през 30-те минути от пътуването
това е промяната на позицията,
колко далеч сте пътували за определено време
а това означава колко време е минало
колко време сте карали колелото.
Като символ, често се използва делта s върху делта t,
'делта', това триъгълно нещо, означава 'промяна в'
s тук означава промяна в позицията - колко далеч сте стигнали,
значи, минали сте 21 км за 30 минути
и това ще бъде 0.7
а мерната единица е км в минута.
Това не означава, че
по всяко време се движите с точно 0.7 км в минута
най-вероятно понякога сте по-бързи, понякога - по-бавни
по-бързи по надолнище, по-бавни по нагорнище, по-бързи когато имате енергия
по-бавни, когато сте уморени
Това е средно. Не сте се движили с тази скорост през цялото време,
но средно това е била вашата скорост.
Но може да ви интересува друг въпрос: Колко бързо сте се движили
да речем точно 10 минути след началото на пътуването.
Това е друг вид въпрос.
Става въпрос за скоростта - колко бързо сте се движили
в точно този момент, не през целите 30 минути.
Това е по-труден и неочевиден въпрос.
Един начин да се отговори е:
Виж средната скорост за времеви интервал, близък
до тази точка при 10 минути.
Нека запишем как може да го разгледаме.
Може да кажем: средната скорост
от t = 9 до t = 11 минути,
същата идея - средна скорост, но времевият интервал е по-малък,
и забележете, че 10 е точно между 9 и 11,
и това ще бъде пътят, изминат за това време,
в този случай, не през цялото пътуване,
а само от t=9 до 11,
и ще го разделим на изминалото време,
което е 2 минути.
Т.е. може да бъде,
и нека измислим едно число, за да говорим конкретно
може би в тези 2 минути, от t=9 до t=11 от вашето пътуване
да кажем, сте изминали 1.2 км
разделено на 2 минути
да кажем, че това са 0.6 км в минута,
и вашата средна скорост от
t=9 до 11, в този случай, и числата си ги измислям, за да
имаме за какво да говорим,
е малко по-малко от вашата средна скорост.
Тук се движите малко по-бавно от средното.