Vamos a terminar esta sección resumiendo lo que hemos hecho hasta ahora
El tema de esta unidad son las funciones iteradas
Comenzamos por definir o recordar que son las funciones. Una función es una regla que toma un número como entrada y produce como resultado otro número.
Es conveniente pensar en una función como si fuera una acción o regla.
Una función es algo que hace algo a un número y da como resultado otro número
Esta es una ilustración clásica: x es la entrada estándar. Entonces algo ocurre en el interior de esta caja.
- Esta acción se denomina f, y produce un nuevo número llamado f de x; es decir x después de que f haya hecho su trabajo
Las funciones que vamos a estudiar son determinísticas. Esto significa que la salida sólo esta determinada por la entrada
y si se pone la misma entrada en la función varias veces, siempre se obtiene el mismo resultado
Después, hemos estudiado las funciones iteradas. Iteramos una función haciendo un bucle, es decir, reutilizando la salida como entrada
Esto es, a partir de una ley estática, una función, la hacemos dinámica haciendo un bucle
Es decir, empezamos con un número, aplicamos f a ese número, conseguiremos un nuevo número y aplicamos f de nuevo y así sucesivamente,
Una función iterada es un ejemplo de un sistema dinámico, un sistema que evoluciona con el tiempo de acuerdo con una regla bien definida que no cambia.
Iteramos una función aplicando la una y otra vez al número. Es un proceso repetitivo.
El número con el que empezamos se le conoce como semilla o condición inicial, y normalmente se le denomina como x sub cero.
Cuando se itera una función, se obtiene una secuencia de números, y esta secuencia se la denomina itinerario u órbita.
Otras veces se dice que es una serie temporal o trayectoria.
Cada iteración individual se denota por x sub t, donde t es el tiempo
Por ejemplo, x sub 5 sería el resultado de la quinta iteración
Una forma útil de visualizar una trayectoria es por medio de un a gráfica temporal
Aquí tenemos un ejemplo. Acabo de representar esta trayectoria y podemos ver que la función crece.
y se acerca a los que parece ser un punto fijo, alrededor de 4,3
Un punto fijo de una función es un número que no cambia cuando se le aplica la función.
Por ejemplo, 1 es un punto fijo de la función de x, x igual a x cuadrado, porque la función de 1 es 1, 1 al cuadrado es 1
En general, x es un punto fijo de f si f de x es igual a x.
es decir, si la entrada y el resultado resultan ser la misma cantidad.
Hay diferentes tipos de puntos fijos:estables e inestables.
Los puntos fijos se denominan estables si los puntos próximos se dirigen al punto fijo cuando se iteran.
Un punto fijo estable se le llama también un punto fijo atractivo o un atractor.
Un punto fijo se dice inestable si al aplicar la función de forma iterativa a los puntos próximos los resultados se alejan del punto inicial.
Un punto fijo inestable se le llama también repulsor
La estabilidad de los puntos fijos se resume gráficamente en esta figura.
Aquí tenemos un punto estable o atractor- el punto fijo es este punto sobre la línea.
- y esto muestra que los puntos vecinos se atraen hacia el.
Y aquí tenemos un punto inestable. Aquí esta el punto fijo, y las trayectorias se alejan de él
es inestable o repulsor. Este dibujo nos ayuda a comprenderlo
Un punto fijo estable es como una bolita o canica en el fondo de una taza. Si lo movemos hacia cualquier lado, vuelve a su punto de partida.
Un punto inestable es como una canica en lo alto de una pelota.
Si lo movemos un poco, hacia la derecha o hacia la izquierda, no vuelve a su posición inicial.
Normalmente, cuando se estudian los sistemas dinámicos estamos interesados en los comportamientos estables, y son los que observamos normalmente.
porque el comportamiento inestable no dura demasiado.
El plano de fase nos permite ver, de una vez, el comportamiento de todas las condiciones iniciales.
La línea de fase no incluye la información temporal. Vemos en que dirección se mueve la órbita, pero no a la velocidad a la que se mueve.
Por ejemplo, esta es la línea de fase de la función cuadrado. Esta línea de fase muestra que las semillas mayores que 1 tienden hacia infinito.
1 es un punto fijo inestable, las semillas entre 0 y 1 se acercan a cero, y 0 es un punto fijo estable.
En los sistemas dinámicos, uno de los objetivos principales es clasificar los tipos de comportamiento que se observan en cada clase de sistema dinámico.
Hasta ahora, hemos examinado una clase o tipo de sistema dinámico, las funciones iteradas y hemos observado los siguientes tipos de comportamientos:
puntos fijos, que pueden ser estables o inestables. Hemos visto que las órbitas pueden aproximarse a un punto fijo, se decir, moverse hacia un atractor.
las órbitas pueden continuar creciendo, pueden tender a infinito, ser cada vez mayores.
y pueden también tender hacia menos infinito, son cada vez más negativas, moviéndose cada vez más hacia la izquierda.
Pero esto no es todo. Pronto veremos más tipos de comportamiento.
Hasta ahora, espero que las funciones iteradas parezcan, si no sencillas, al menos cabezotas, o por lo menos, repetitivas.
Todo lo que hacen las funciones iteradas es escoger un número y aplicar la función a ese número.
una y otra vez... y ver que pasa.
Es un proceso simple, pero veremos en las próximas semanas que este proceso simple y repetitivo
es capaz de producir resultados sorprendentes y complicados
Esto completa la unidad 1. Recomiendo practicar estas ideas y técnicas en los cuestionarios y en los deberes para casa.
Si tienen alguna pregunta sobre los cuestionarios o sobre las tareas o sobre cualquier otro aspecto.
por favor, hacedlas en el forum o en el website del curso.
Nos vemos la semana próxima en el unidad 2.