Есть два числа, которые не меняются при возведении в квадрат: 0 и 1.
1^2 = 1*1 = 1
Т.е. можно сказать f(1) = 1
0^2 = 0*0 = 0
Т.е. можно сказать f(0) = 0
И это - стационарные точки, точки, которые не меняются при итерации.
Итак, стационарная точка функции, это число, которое не изменяется в процессе итерации.
У функции возведения в квадрат таких точек две: 0 и 1
потому, что 0^2 = 0, значение на входе равно значению на выходе
и 1^2 = 1, также значение на входе равно значению на выходе.
И теперь мы можем сделать заключение о динамике,
общем поведении всех орбит сразу.
И сделаем мы это с помощью геометрической конструкции под названием фазовая прямая.
Вот фазовая прямая для f(x) = x^2
В данном случае нас интересуют только положительные значения x.
Я рисую прямую, это будет числовая прямая.
Здесь, в нуле, я нарисую точку, т.к. 0 - стационарная точка
и я нарисую точку в 1, по той же причине.
Любое число больше 1
становится больше, смещается вправо по числовой прямой в процессе итерации.
А если мы начинаем в интервале между 0 и 1 оно будет уменьшаться.
Вот это и есть фазовая линия для функции возведения в квадрат.
Она описывает общее поведение, конечную судьбу любого начального условия,
( положительного начального условия ) для этой функции.
Если я начинаю где-то правее 1 я двигаюсь вправо всегда,
я только увеличиваюсь.
Если я начинаю где-то здесь, между 0 и 1, я двигаюсь влево и приближаюсь сильнее и сильнее к 0.
Мы говорим, что орбиты здесь стремятся к нулю;
а орбиты здесь уходят на бесконечность или растут неограниченно или расходятся
Точка 1 - стационарная, она остается на месте, поэтому и обозначена точкой
и 0 также стационарная точка.
Сравните фазовую прямую, нарисованную здесь
с графиком временных рядов.
Они содержат примерно одну и ту же информацию.
Здесь, на графике,
мы видели, что эти два начальных условия...
(и мы могли бы добавить дополнительные точки)
любое начальное условие здесь вверху становится больше, двигается вверх.
И любое начальное условие здесь
уменьшается и стремится к нулю.
То есть эти два графика отображают схожие вещи,
но немного по-разному.
Можно заметить, что на графике временных рядов
мы можем увидеть как быстро происходит рост.
А происходит он весьма быстро,
уже следующая точка была бы за пределами графика.
На фазовой прямой мы видим только направление движения.
Мы ничего не знаем о скорости.
Все, что мы знает - что орбиты двигаются в этом направлении
или в этом направлении.
Фазовая прямая говорит нам о направлении движения
но не о скорости.
Итак, фазовые прямые и их
аналоги более высоких размерностей являются очень полезными геометрическими построениями
при описании динамики функций.
Это полностью описывает общую динамику
функции возведения в квадрат для положительных чисел.
Подведем итог:
фазовая прямая описывает следующее:
посевы более 1 уходят на бесконечность
посевы между 0 и 1 стремятся к 0
1 и 0 - стационарные точки,
но стационарные точки разного типа.
1 - нестабильная стационарная точка,
нестабильная потому, что если вы находитесь в 1
и чуть-чуть сдвигаетесь вправо или влево
вы не возвращаетесь, вас уносит в сторону.
Это нестабильная ситуация,
как будто сидеть на вершине холма -
небольшой толчок и вы скатываетесь в том или ином направлении.
Напротив, мы говорим, что 0 - стабильная стационарная точка.
Стабильная потому, что если мы в 0 и чуть-чуть смещаемся вправо
нас возвращается назад в 0,
- это стабильная стационарная точка, стабильная ситуация.