Er zijn twee getallen die niet veranderen als je kwadrateert: 0 en 1.
1 kwadraat is 1 maal 1, en dat is 1.
Dus, kun je zeggen dat f van 1 is 1.
En 0 kwadraat, dat is 0 maal 0,
wat vast en zeker 0 is.
We kunnen dus zeggen dat f van 0 is 0.
Dit zijn dus vaste punten, punten die niet veranderen als ze herhaald worden.
Dus een vast punt van een functie f is een getal dat tijdens herhaling niet verandert.
De kwadraatfunctie heeft twee vaste punten, 0 en 1,
omdat 0 kwadraat 0 is, input is gelijk aan de output
en 1 kwadraat is 1, de input is gelijk aan de output.
Dus nu kunnen we de dynamiek vaststellen,
het lange termijn gedrag van alle omwentelingen in één keer.
En we doen dat met een geometrische constructie: de faselijn.
Dan is hier de faselijn voor f van x is gelijk aan x kwadraat.
In deze analyse bekommer ik me alleen om positieve x-waarden.
Dus ik teken mijn lijn, en dat wordt een getallenlijn.
En hier, bij punt 0, teken ik dat als een stip, omdat 0 een vast punt is
en ik teken 1 als een stip, omdat 1 een vast punt is.
Elk getal groter dan 1
wordt groter, beweegt naar rechts op deze getallenlijn als het herhaald wordt.
En als we beginnen met een getal tussen 0 en 1 zal het kleiner worden.
Dus dit is de faselijn voor de kwadraatfunctie.
Het laat ons het lange termijn gedrag zien, het uiteindelijke lot, van elke beginvoorwaarde,
of elke positieve beginvoorwaarde van deze functie.
Als ik ergens begin groter dan 1 ga ik naar rechts
voor altijd, ik wordt groter en groter.
Als ik ergens hier begin, tussen 0 en 1, beweeg ik naar links, steeds dichter en dichter bij 0.
We zeggen dat omwentelingen in dit gebied de nul benaderen;
omwentelingen hier neigen naar oneindig of groeien grenzeloos of divergeren.
Het punt 1 is een vast punt, het blijft zitten, en is daaroom een stip
en het punt 0 is een vast punt.
Vergelijk nu de faselijn met wat ik hier getekend heb
met de grafiek van de tijdreeksen.
Ze bevatten min of meer de zelfde informatie.
Hier in de tijdreeksgrafiek
zagen we deze twee beginvoorwaarden,
en we konden bijkomende punten tekenen,
elke beginvoorwaarde in dit gebied wordt groter, beweegt omhoog.
En elke beginvoorwaarde in dit gebied
wordt kleiner en benadert 0.
Dus deze twee grafieken laten soortgelijke dingen zien
maar op een enigszins andere manier.
Een opmerking die de aandacht verdient, is dat in de grafiek van de tijdreeksen
kunnen we zien hoe snel dit groter wordt
Het wordt in feite behoorlijk snel groter,
dit punt zou al helemaal buiten het scherm liggen.
Op de faselijn weten we wel de bewegingsrichting.
We weten niet echt de snelheid.
We weten alleen dat omwentelingen deze kant op bewegen
en dat omwentelingen deze kant op bewegen.
De faselijn vertelt ons de bewegingsrichting
maar niet de snelheid.
Dus faselijnen en hun hogere dimensie
afgeleiden zijn zeer bruikbare geometrische constructies
om de dynamiek van een functie te beschrijven.
Dit beschrijft volledig de lange termijn dynamiek
van de kwadraatfunctie voor positieve getallen.
Dus, om nog eens samen te vatten,
de faselijn vertelt ons de volgende zaken:
zaden groter dan 1 bewegen richting oneindig
zaden tussen 0 en 1 benaderen 0
1 en 0 zijn vaste punten,
maar het zijn verschillende typen vaste punten.
1 is een onstabiel vast punt.
Onstabiel, omdat als je op 1 bent en je beweegt
een beetje naar links of naar rechts
dan kom je niet terug, je wordt weggeduwd.
Dus dat is een onstabiele situatie,
het is alsof je op de top van een heuvel zit -
een klein zetje en je rolt naar beneden in een of andere richting.
Daartegenover noemen we 0 een stabiel vast punt.
Stabiel, omdat als je op 0 bent en je beweegt
een beetje naar rechts, dan wordt je direct terug naar 0 geduwd.
Dat is dus een stabiel vast punt - een stabiele situatie.