Hay dos números que no cambian cuando son elevados al cuadrado: 0 y 1
1 elevado al cuadrado es 1 por 1, y eso da 1
Entonces, pueden decir que f de 1 es 1
Y cero elevado al cuadrado, es 0 por 0, lo cual definitivamente es 0
Por lo que podemos decir que f de 0 es 0
Entonces estos son puntos fijos, puntos que no cambian cuando son iterados.
Por lo que el punto fijo de una función f es un número que no cambia cuando es iterado
La función que eleva x al cuadrado tiene dos puntos fijos, 0 y 1
porque 0 al cuadrado es 0, la entrada es igual a la salida
y 1 al cuadrado es 1, la entrada, igual a la salida
Por lo que ahora estamos listos para determinar la dinámica,
el comportamiento a largo plazo de todas las órbitas
Haremos esto mediante una representación geométrica, denominada la línea de fase (phase line)
Entonces, aquí tenemos la línea de fase para f de x igual a x al cuadrado
En este análisis solo me ocuparé de los valores positivos de x
Entonces, dibujaré la línea y será una línea numerada
Aquí, el punto 0. Lo dibujaré como un punto porque 0 es un punto fijo
Y dibujaré 1 como un punto porque también es un punto fijo
Cualquier número mayor que 1
se torna cada vez más grande, se mueve a la derecha en esta línea cuando es iterado
Y si empezamos con un número entre 0 y 1 se torna más pequeño
Entonces, esta es la línea de fase para la función al cuadrado
Nos muestra el comportamiento a largo plazo, el destino último, de cualquier condición inicial
o cualquier condición inicial positiva para esta función
Si empiezo en cualquier lugar mayor que uno se mueve a la derecha
para siempre, cada vez más y más grande
Si empiezo en cualquier lugar aquí, entre 0 y 1, me muevo a la izquierda y me acerca más y más a 0
Decimos que aquí las órbitas se acercan a 0;
las órbitas aquí tienden hacia el infinito o crecen sin límite o divergencia
El punto 1 es un punto fijo, se mantiene ahí, por eso es un punto
y el 0 es también un punto fijo
Entonces, comparemos la línea de fase dibujada aquí
con el gráfico de la serie temporal
Contienen más o menos la misma información.
Aquí, en el gráfico de la serie temporal
podemos ver dos condiciones iniciales
y podemos graficas más puntos
Cualquier condición inicial aquí, se hace más grande, se mueve hacia arriba
y cualquier condición aquí,
se hace más pequeña acercándose a 0
Por lo que estos dos gráficos presentan cosas similares
pero en una forma un tanto distinta
Algo para notar es que en el gráfico de la serie temporal
podemos ver cuán rápidamente esto se agranda
Se agranda bastante rápidamente de hecho
este punto estaría completamente fuera de la pantalla
En la línea de fase solo sabemos la dirección del movimiento
Realmente no conocemos la velocidad
Todo lo que sabemos es que las órbitas se mueven en este sentido
y estas órbitas en este.
La línea de fase nos cuenta acerca de la dirección del movimiento
pero no la velocidad
Entonces las líneas de fase y su análogo de más dimensiones
son representaciones geométricas bastante útiles.
para describir la dinámica de una función.
Esto describe completamente la dinámica a largo plazo
de la función cuadrado para números positivos
Finalmente, para resumir, una vez más
Las líneas de fase nos cuentan las siguientes cosas:
las semillas más grandes que 1 tienden hacia el infinito
las semillas entre 0 y 1 se acercan a 0
1 y 0 son puntos fijos
pero son distintos tipos de puntos fijos
1 es un punto fijo inestable
Inestable porque si estamos en 1 y nos movemos
un poco hacia la izquierda o derecha
ya no volvemos más, somos empujados fuera de el
Por lo que esta es una situación inestable
es como ser empujado desde la cima de una colina
un pequeño empujón y caeremos en cualquiera de las dos direcciones
Por el contrario, podemos decir que 0 es un punto fijo estable
Estable debido a que si estamos en 0 y nos movemos
un poco a la derecha, somo empujados nuevamente a 0
Por lo que este es un punto fijo estable - es una situación estable