Има две числа, които не се променят, когато се повдигат на втора степен: 0 и 1
1 на втора степен е 1 по 1, равно на 1.
Можем да кажем, че f от 1 е 1
0 на втора степен е 0 по 0, което определено е 0
Можем да кажем, че f от 0 е 0.
Така че това са фиксирани точки, точки които не се променят, когато се итерират.
Фиксирана точка на фунция е число, което не се променя при итерация.
Функцията за повдигане на втора степен има две фиксирани точки: 0 и 1
защото 0 на втора степен е 0, входът е равен на изхода
и 1 на втора степен е 1, входът е равен на изхода.
Готови сме да посочим динамиката,
дългосрочното поведение на всички орбити наведнъж.
И ще го направим с геометрична конструкция, наречена фазова линия.
Ето я фазовата линия за f(x) = x^2
В този анализ ще разглеждаме само положителните стойности на x
Ще нарисувам линията, ще бъде числова линия
Ето, точка 0, ще я нарисувам като точка, защото 0 е фиксирана точка.
Ще нарисувам и 1 като точка, защото 1 е фиксирана точка
Всяко число, по-голямо от 1
расте, премества се надясно по тази числова линия, когато итерираме
Ако започнем с число между 0 и 1 ще става все по-малко
Това е фазовата линия за функцията за повдигане на втора степен
Тя ни показва дългосрочното поведение, крайната съдба, на всяко начално състояние
или поне на всяко положително начално състояние на функцията.
Ако започна където и да е над 1, ще се движа надясно
завинаги, ще нарастваме и нарастваме.
Ако започна някъде тук, между 0 и 1, ще се движа наляво и ще приближавам 0.
Казваме, че орбитите тук клонят към 0
обритите тук клонят към безкрайност или растат безгранично
1 е фиксирана точка, остава намясто, затова е нарисувана като точка
и 0 е фиксирана точка
Нека сравним фазовата линия, която начертах тук
с чертежа на времевите серии.
Те съдържат малко или много същата информация.
Тук, на чертежа на времевите серии
видяхме, че тези две начални състояния
и можем да нарисуваме допълнителни точки,
всяко начално състояние тук горе нараства, премества се още по-нагоре
И всяко начално състояние тук
намалява и се доближава до 0
Тези две графики показват сходни неща
но по малко по-различен начин
Трябва да отбележим, че при чертежа на времевите серии
виждаме колко бързо това нараства.
Нараства доста бързо в действителност,
тази точка съвсем ще излезе от екрана.
На фазовата линия знаем само посоката на движение
Но не знаем скоростта
Всичко, което знаем, е че орбитите се местят насам
и че орбитите се местят натам.
Фазовата линия ни казва посоката на движение
но не и скоростта.
Така че фазовите линии и техните аналози от по-високи
измерения, са много полезна геометрична конструкция
за описание на динамиката на функция.
Те напълно описват дългосрочната динамика
на функцията за повдигане на втора степен за позитивни числа.
Да обобщим още веднъж
Фазовата линия ни казва следните неща:
семена по-големи от 1 клонят към безкрайност
семена между 0 и 1 клонят към 0
1 и 0 са фиксирани точки
но са различен тип фиксирани точки
1 е нестабилна фиксирана точка
Нестабилна, защото, ако сте на 1 и се придвижите
малко наляво или надясно,
не се завръщате, а се отблъсквате.
Това е нестабилна ситуация
като да стоите на върха на хълм
малко бутване и ще се изтъркаляте надолу в някоя посока
Обратното можем да кажем за 0 - тя е стабилна фиксирана точка
Стабилна, защото, ако сте на 0 и мръднете
малко вдясно, се отблъсквате отново към 0.
това е стабилна фиксирана точка - стабилна ситуация.