هناك رقمين لا يتغيران عندما يتم تربيعهما: 0 و1
1 مربع هو 1 في 1، وهذا 1.
إذاً، تستطيع القول f لـ 1 هو 1.
و0 مربع، هذا 0 في 0، والذي هو حتماً 0
إذاً نستطيع القول أن f لـ 0 هو 0.
إذاً هذه هي النقاط الثابتة، نقاط لا تتغير عندما نكررها.
وبالتالي النقطة الثابتة لدالة f هي رقم لا يتغير عندما نكرر الدالة.
دالة التربيع لديها نقطتين ثابتتين، 0 و 1
لأنّ 0 مربع هي 0، المدخل يساوي الناتج
و 1 مربع هي 1، المدخل يساوي الناتج.
إذاً نحن جاهزين الآن لنوضّح الديناميكيا،
السلوك طويل المدى للمدارات في نفس الوقت.
وسنفعل هذا ببنية هندسية تدعى خط مرحلي.
إذاً هنا الخط المرحلي لـ f لـ x يساوي x مربع.
في هذا التحليل سأكترث فقط حيال قيم x الموجبة.
إذاً سأرسم خطي، وهذا سيكون محور.
هنا، النقطة 0، سأرسم هذا كنقطة لأن 0 هي نقطة ثابتة
وسأرسم 1 كنقطة لأن 1 نقطة ثابتة.
أي رقم أكبر من 1
يصبح أكبر، يتحرك لليمين على هذا المحور عندما يتكرر
وإذا بدأنا برقم بين 0 و 1 سيصبح أصغر.
إذاً هذا هو الخط المرحلي لدالة التربيع.
تخبرنا السلوك طويل المدى، النهاية المُطلقة، لأيّ شرط ابتدائي،
أو أي حالة أولية موجبة لهذه الدالة. إذا بدأت بأي مكان أكبر من 1 سأتحرك لليمين
دائماً، سيصبح أكبر وأكبر.
إذا بدأت بأي مكان هنا، بين 0 و1، سأتحرك لليسار وأصبح أقرب وأقرب لـ0.
نقول أنّ المدارات هنا تقترب من 0
المدارات هنا تتجه نحو اللانهاية أو تزيد بدون حدود أو تتباعد
النقطة 1 هي نقطة ثابتة، تبقى في مكانها، ولهذا تدعى نقطة
والنقطة 0 هي نقطة ثابتة.
إذاً قارن الخط المرحلي للذي رسمته هنا
مع رسم السلسلة الزمنية البياني.
يحتوون على نفس المعلومات.
هنا على رسم السلسلة الزمنية البياني
رأينا أنّ هاتين الشرطين الابتدائيين،
نستطيع رسم نقاط إضافية بيانياً،
أيّ شرط ابتدائي هنا بالأعلى، يكبر، يرتفع.
وأيّ شرط ابتدائي هنا
يصغر ويقترب لـ 0.
إذاً هاتين الرسمتين البيانيتين تُظهر أشياء مشابهة
لكن بطرق مختلفة إلى حدٍّ ما.
شيء واحد لنلاحظه أنّ على رسم السلسلة الزمنية البياني
نستطيع رؤية كيف تصبح كبيرة بسرعة.
إنّها تصبح أكبر بسرعة كبيرة في الواقع،
هذه النقطة ستكون خارج الشاشة تماماً.
على الخط المرحلي نحن فقط نعرف اتجاه الإشارة.
نحن لانعلم السرعة حقاً.
كل الذي نعرفه أنّ مدارات تتحرك بهذه الجهة
وأنّ مدارات تتحرك بهذه الجهة.
الخط المرحلي يخبرنا أتجاه الإشارة
لكن ليس السرعة.
إذاً الخطوط المرحلية ونظائرها ذات البُعد الأعلى
بنيات هندسية مفيدة جداً
لوصف الديناميكية للدالة.
هذا يصف بشكل كامل الديناميكية طويلة المدى
لدالة التربيع للأرقام الموجبة
إذاً للتلخيص مرة أخرى
الخط المرحلي يخبرنا الأشياء التالية:
البذور أكبر من 1 تتجه نحو اللانهاية
البذور بين 0 و1 تقترب من الـ0
1و0 هم نقاط ثابتة
ولكنهم أنواع مختلفة من النقاط الثابتة.
1 هو نقطة ثابتة غير مستقرة.
غير مستقرة لأنّك إن كنت عند 1 وتحركت
قليلاً لليسار أو لليمين
لا تعود، تُدفع بعيداً.
وبالتالي هذا وضع غير مستقر،
وكأنها تجثم عل قمة تل
دفعة صغيرة وستنزلق بأحد الاتجاهين.
بشكل مباين، نقول أنّ 0 هي نقطة ثابتة مستقرة.
مستقرة لأنّك إن كنت عند 0 وتحركت
قليلاً لليمين، ستُدفع عائداً لـ0.
إذاً هذه نقطة ثابتة مستقرة - إنّه وضع مستقر.