Όταν αναλύουμε επαναληπτικές συναρτήσεις, είναι συχνά πιο εύκολο να σχεδιάσουμε την τροχιά
ή αλλιώς τη διαδρομή. Θα το δείτε καλύτερα με ένα παράδειγμα.
Πάρτε πάλι τη συνάρτηση τριπλασιασμού, f του x ίσον τρία επί x.
Ας υπολογίσουμε την τροχιά για την αρχική συνθήκη x ίσον δύο. Το έχουμε ξανακάνει:
δύο, η επόμενη τιμή είναι έξι, την τριπλασιάζουμε
και παίρνουμε δεκαοκτώ, την τριπλασιάζουμε
και παίρνουμε πενήντα τέσσερα, και μετά
τριπλασιάζουμε το πενήντα τέσσερα...ας δούμε...
είναι εκατόν εξήντα δύο.
Ιδού η τροχία μας, η διαδρομή.
Θα τη σχεδιάσω σε ένα γράφημα που καλείται γράφημα χρονοσειράς.
Θα σχεδιάσω τον αριθμό της επανάληψης στον οριζόντιο άξονα
και την τιμή της επανάληψης στον κάθετο άξονα.
Ας σχεδιάσω πρώτα τους άξονες.
Σε αυτό τον άξονα θα έχουμε το χρόνο, ή αλλιώς τον αριθμό της επανάληψης,
και σε αυτόν την άξονα θα έχουμε την τιμή της επανάληψης, x του t.
Ας σχεδιάσουμε τα σημεία...
Η αρχική μου συνθήκη, η φύτρα, είναι δύο,
έτσι την αρχική μου τιμή, όταν το t είναι μηδέν... θα την τοποθετήσω
κοντά στην αρχή των αξόνων, γύρω στο δύο.
Η πρώτη επανάληψη είναι έξι, οπότε θα πάω εδώ, γύρω στο έξι.
Η επόμενη επανάληψη, όταν ο χρόνος είναι δύο,
η επανάληψη είναι δεκαοκτώ, ίσως εδώ πάνω.
Ο χρόνος είναι τρία, επανάληψη νούμερο τρία,
τέρμα πάνω στο πενήντα τέσσερα, ίσως είναι εδώ.
Και μετά, το τελευταίο, σε αυτή την πλευρά της διαδρομής,
όταν ο χρόνος είναι τέσσερα, η τέταρτη επανάληψη, είναι τέρμα πάνω στο εκατόν εξήντα δύο.
Ώστε αυτή είναι η χρονοσειρά μου, και μπορώ να ενώσω τις τελείες
που κάνει το μοτίβο λίγο πιο εμφανές...
Αν και οι τιμές ανάμεσα στις τελείες δεν έχουν πραγματικό νόημα.
Η τροχιά "πηδά" από το δύο στο έξι,
δεν "γλυστρά" από το δύο στο έξι περνώντας από ενδιάμεσες τιμές.
Ας ρίξουμε μια ματιά σε μια καλύτερη εκδοχή του γραφήματος.
Εδώ είναι.
Αυτό είναι ένα γράφημα από τον υπολογιστή,
και μπορούμε να δούμε πως η τροχιά πηγαίνει από το δύο στο έξι, στο δεκαοκτώ, στο πενήντα τέσσερα, στο εκατόν εξήντα δύο.
Χρησιμοποιώ τον αριθμό επανάληψης ως χρόνο
και τοποθετώ την τιμή της επανάληψης στον άξονα y.
Το νόημα αυτού...που καλείται γράφημα χρονοσειράς
γιατί μπορούμε να δούμε τη σειρά των αριθμών ως μια σειρά που προχωρά στο χρόνο...
είναι ότι μας αφήνει να δούμε καθαρά ότι αυτός ο αριθμός αυξάνεται γρήγορα.
Φυσικά, μπορούμε να το δούμε από τα νούμερα
αλλά ίσως αυτή να είναι μια πιο αποκαλυπτική, γεωμετρική οπτική.
Το γράφημα χρονοσειράς είναι διαφορετικό γράφημα από το απλό γράφημα της συνάρτησης.
Το γράφημα χρονοσειράς απεικονίζει την τροχιά,
μας δείχνει την τιμή της τροχιάς στο χρόνο ένα,
την πρώτη επανάληψη, στη δεύτερη, στην τρίτη και ούτω καθ' εξής.
Το γράφημα της συνάρτησης - εδώ έχουμε το γράφημα της συνάρτησης f του x ίσον τρία x
- μας λέει πώς η είσοδος x σχετίζεται με την f του x.
Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα με γραφήματα χρονοσειρών.
Αυτή τη φορά θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση τετραγωνισμού, f του x ίσον x στο τετράγωνο.
Η φύτρα μου, η αρχική μου συνθήκη, θα την επιλέξω ως ένα κόμμα ένα (1,1),
ώστε στον χρόνο ίσον μηδέν, στην αρχή, η τιμή είναι ένα κόμμα ένα.
Ποια είναι η νέα τιμή; Αυτή καθορίζεται από την συνάρτηση. Έτσι τετραγωνίζουμε το ένα κόμμα ένα - θα το κάνω στον υπολογιστή...
...και βλέπω ότι η απάντηση είναι ένα κόμμα είκοσι ένα (1,21).
ΟΚ, ποια είναι η επόμενη τιμή;
Παίρνουμε την επόμενη τιμή από τη συνάρτηση,
σε αυτήν την περίπτωση σημαίνει να τετραγωνίσουμε τον αριθμό, οπότε τετραγωνίζουμε το 1,21.
Και παίρνω ένα κόμμα σαράντα έξι (1,46).
Ποια η επόμενη τιμή; Καθορίζεται από τη συνάρτηση: χρησιμοποιώ το 1,46 ως είσοδο
έτσι το τετραγωνίζω, και παίρνω δύο κόμμα δεκατέσσερα (2,14).
Ας κάνουμε άλλο ένα. Ποια είναι η επόμενη τιμή;
Παίρνω την προηγούμενη τιμή και την τετραγωνίζω. Οπότε, τετραγωνίζω ξανά και ξανά και ξανά.
Παίρνω τέσσερα κόμμα πενήντα εννέα (4,59).
Η επανάληψη είναι επαναληπτική, αλλά αυτή είναι η όλη ιδέα.
Κάνουμε το ίδιο πράγμα ξανά και ξανά, αρχίζοντας από μια αρχική τιμή και βλέποντας τι συμβαίνει.
Πλέον έχουμε μια χρονοσειρά: 1,1, 1,21, 1,46, 2,14, 4,59...
Είναι μια τροχιά ή διαδρομή. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα χρονοσειράς.
Κάπως έτσι φαίνεται - και πάλι χρησιμοποίησα υπολογιστή για να το σχεδιάσω λίγο καλύτερα απ' ότι με το χέρι.
Έτσι: ο χρόνος είναι εδώ κάτω στον οριζόντιο άξονα. Όταν ο χρόνος είναι μηδέν,
η τιμή της χρονοσειράς είναι λίγο πάνω από το ένα - σωστά, καθώς αρχίσαμε από το 1,1.
Στο χρόνο ένα, την πρώτη επανάληψη, μεγενθύνεται λίγο στο 1,21.
Στον χρόνο δύο, γύρω στο ενάμιση, 1,46.
Στο χρόνο τρία είναι λίγο μεγαλύτερο από δύο,
και στο χρόνο τέσσερα είναι γύρω στο τεσσαράμιση.
Έτσι, η ιδέα του γραφήματος χρονοσειράς είναι απλή:
υπολόγισε την τροχιά και έπειτα απλά σημείωσε τις διαδοχικές τιμές από τα αριστερά στα δεξιά.
Είναι καλός τρόπος για να δούμε αν η τροχιά μεγενθύνεται ή συρρικνώνεται,
ή αν κάνει κάτι άλλο.