Υπάρχει ακόμη ένας τρόπος σημειογραφίας
που θα ήθελα να παρουσιάσω. Δεν θα τον χρησιμοποιήσω τόσο συχνά,
αλλά είναι σχετικά συνηθισμένος και μπορεί να τον συναντήσετε αλλού
και πιστεύω πως τουλάχιστον πρέπει να τον παρουσιάσω εν συντομία. ΟΚ.
Έτσι και πάλι έχουμε μια επαναληπτική συνάρτηση που είναι απλά ένας βρόγχος.
Εισάγουμε το x, εφαρμόζουμε την f στο x,
και παίρνουμε την έξοδο. Και επαναλαμβάνουμε.
Έτσι, το x1, η πρώτη τιμή στην τροχιά,
είναι απλά η f εφαρμοσμένη στη φύτρα (ή αρχική συνθήκη) .
Για να πάρουμε το x2, εφαρμόζουμε την f στο x1.
Για να πάρουμε την επόμενη τιμή στην τροχιά, την επόμενη τιμή στη διαδρομή, απλά εφαρμόζουμε
τη συνάρτηση στην τρέχουσα τιμή. Ένας άλλος τρόπος για να σκεφτούμε είναι:
για να πάρουμε το x2, αρχίζω με τη φύτρα
και εφαρμόζω την f δύο φορές.
Αρχίζοντας με το x0, εφαρμόζω τη συνάρτηση μία φορά και παίρνω x1,
δύο φορές και παίρνω x2. Μπορούμε να το γράψουμε με τύπο ως εξής:
Η σημειογραφία αυτή σημαίνει: για να πάρουμε το x2
αρχίζουμε με τη φύτρα x0, εφαρμόζουμε την f και ξαναεφαρμόζουμε την f.
Με άλλα λόγια, το x2 είναι η f εφαρμοσμένη δύο φορές στο x0.
Παρομοίως, το x3, την τρίτη επανάληψη, την παίρνουμε αρχίζοντας με τη φύτρα και εφαρμόζοντας την f τρεις φορές.
Μπορώ να το γράψω ως εξής:
Ώστε το x3 είναι το x0 αφού εφαρμόσω την f ξανά και ξανά.
Άρα αυτό είναι το x0 αφότου εφαρμόσαμε την f τρεις φορές.
Διαβάζοντας όλα αυτά τα f στη σειρά είναι λίγο κουραστικό,
έτσι υπάρχει μια συντομογραφία γι' αυτό.
Ώστε αυτό, η f με τρια σε παρένθεση σημαίνει
"f εφαρμοσμένη τρεις φορές", άρα αυτό είναι το x0 αφότου η f εφαρμόστηκε τρεις φορές.
Γενικά, η σημειογραφία αυτή, f με ένα n ως εκθέτη σε παρένθεση, σημαίνει:
"η f εφαρμοσμένη n φορές στο x", εφαρμόζει την f n φορές στη σειρά σε ό,τι είχαμε για είσοδο.