En este video hablaré un poco acerca de cómo una función puede ser vista como un gráfico.
Hasta ahora, hemos visto a la función de la siguiente manera. Recordemos, una función, es una acción
Toma una entrada x, le hace algo, aquí tenemos esta caja f que le hace algo a x y luego, tenemos la salida, que llamamos f(x)
Volvamos entonces a nuestro ejemplo original, la función triplicadora, que podemos describir en palabras
Tomamos la entrada y... la triplicamos
Bueno, eso describe lo que la función hace. De forma equivalente podemos describir una función como una ecuación
Entonces, aquí, f(x) es igual a 3x. Esto es, que cualquiera sea la entrada, al multiplicarla por tres tendremos nuestra salida.
Entonces, pensemos cómo podemos ver esto como un gráfico.
Primero, haré una tabla con un par de números. La entrada aquí y la salida, allí.
Entonces, nuestra entrada... puede ser -2, nuestra salida será entonces -6. Debido a que tomamos la entrada, la multiplicamos por 3; -2 por 3 es -6
Una entrada de 0 nos da una salida de 0, porque 3 por 0 es 0.
Una entrada de 2 nos da una salida de 6 positivo, porque 2 por 3 es seis
Y, hagamos una más. Una entrada de 4 nos da una salida de 12 porque 4 por 3 es 12.
Entonces, puedo tomar estos pares de números y graficarlos en un plano x-y. Déjenme dibujar como podría ser y luego les mostraré una impresión un poco más linda
Dibujo primero los ejes
Entonces, el eje y o el vertical será f(x), la salida. Y las entradas estarán aquí debajo, en el eje horizontal.
Lo pongo a escala
Aquí están mis ejes. Ahora puedo marcar algunos puntos
Podría ponerlos en colores distintos
Hagamos -2 y -6. Entonces, -2 está aquí debajo del eje x. Voy hasta 2 y bajo 6. Por lo que el punto estaría aquí.
(0,0), ese es el origen, justo aquí en el medio, es el punto donde x es cero e y es cero.
(2,6) grafiquemos; sobre 2, subo 6. Por aquí.
Y luego (4,12), sobre cuatro subo 12, ya está. Entonces, estos son mis cuatro puntos.
Bueno, solamente estoy tomando los números y graficándolos y esta función resultó ser una línea. Es una función lineal.
Puedo simplemente conectar los puntos. Lo haré en púrpura y será este entonces una gráfica de la función.
Entonces esta línea púrpura es la función. Posee la misma información que la versión en palabras o la ecuación. Podría decir que necesito una función que triplique la entrada,
Podría describir la función diciendo f(x) = 3 o podría describir la función simplemente mostrando este gráfico
El punto es que todos estos contienen la misma información. Observemos una versión un poco más agradable de este gráfico.
Aquí hay una que la computadora dibujó para mí
Podemos ver que es bastante parecida a la que dibujé antes
Y nuevamente, este gráfico contiene la misma que la fórmula. Por lo que puedo usar este gráfico para saber acerca de un par entrada-salida
Por ejemplo, supongamos que estoy interesado en f(10). Si tengo 10 y la función f actúa, ¿qué ocurre? Bueno, podría leerlo del gráfico
Aquí está mi valor de entrada 10. Subo por el gráfico que representa la función y luego puedo leer en el eje vertical que este valor es cercano a 30
Por supuesto, no necesariamente necesitamos usar el gráfico porque poseemos la fórmula, pero el punto es que si no tenemos la fórmula aun asi podemos estimar valores de alguna función
mediante la lectura del gráfico
Hagamos otro ejemplo. Aquí tenemos la función, y el gráfico
Por variar, he llamado a esta función h(x) en vez de f o g. No tenemos una fórmula y tampoco una descripción verbal de esta función.
Por lo tanto con el objeto de estimar valores de entrada y salida, deberemos utilizar el gráfico
Veamos como podemos hacerlo
Supongamos que nos interesa h(4). Entonces, si 4 es la entrada, ¿cuál es la salida?. Bueno, entonces, el valor de entrada está aquí debajo: es 4
Luego puedo preguntarme ¿cuánto es h(x) si x es 4? Eso es lo que esta curva me dice. El alto de la curva es el valor de h(4) y lo puedo leer y decir "oh, es cercano a 10"
Entonces, h(4) es cercano a 10. Y puedo poner un signo que me diga que esto es una aproximación. Posiblemente la curva no pasa exactamente a través de 10. No podemos afirmarlo, pero esta bien
Hagamos unos pocos puntos más
h(2). Entonces si 2 es la entrada ¿cuál es la función?. Veamos, entonces aquí está mi valor de x de 2. h(2) es la altura de la curva
Puedo ir por la curva y leer por aquí y decir, bueno, probablemente este alrededor de seis. Nuevamente, solamente es una aproximación, pero es correcta
Hagamos uno más. Puede ser h(-2). Ahora, mi entrada es -2. ¿Cuál es el valor de la función?. Es la altura de la curva aquí, miro y puedo decir que es alrededor de 2,5
No es exacta, es una aproximación, pero, es correcta
Entonces, resumiendo. Puedo representar una función con palabras, una ecuación o un gráfico y las tres formas son equivalentes
Especificar el gráfico de una función es lo mismo que dar una fórmula. Se puede averiguar todo de un gráfico como también de una fórmula
Sin embargo, a veces, trabajar con un gráfico es más fácil y lo haremos bastante tanto en esta unidad como en la siguiente.