Σε αυτό το video θα μιλήσω για το πώς μπορούμε να δούμε μια συνάρτηση ως γράφημα.
Ως τώρα, βλέπαμε τις συναρτήσεις με τους ακόλουθους τρόπους:
θυμηθείτε, η συνάρτηση είναι μια δράση, παίρνει για είσοδο μια τιμή x,
κάνει κάτι σε αυτή - εδώ είναι το κουτί της f που κάνει κάτι στο x -
και παίρνουμε μια έξοδο (αποτέλεσμα) που καλούμε f του x.
Επιστρέφοντας στο αρχικό μας παράδειγμα, τη συνάρτηση τριπλασιασμού, μπορούμε να την περιγράψουμε με λέξεις:
"πάρε την είσοδο και τριπλασίασέ την"
Ώστε αυτό περιγράφει τη δράση της συνάρτησης.
Μπορούμε επίσης να περιγράψουμε τη συνάρτηση με μια εξίσωση.
Έτσι έχουμε: f του x ίσον τρία x, που λέει ότι για οποιαδήποτε είσοδο, πολλαπλασίασέ την επί τρία και αυτό είναι το αποτέλεσμα.
Ας σκεφτούμε πώς να το κάνουμε αυτό ως γράφημα.
Πρώτα θα φτιάξω έναν πίνακα με ζεύγη αριθμών.
Η είσοδος εδώ και η έξοδος εκεί. Έτσι, η είσοδός μας ίσως είναι μείον δύο και η έξοδος μας μείον έξι,
γιατί παίρνουμε την είσοδο και πολλαπλασιάζουμε επί τρία, έτσι μείον δύο επί τρία ίσον μείον έξι.
Μια μηδενική είσοδος θα δώσει έξοδο μηδέν, καθώς τρία επί μηδέν ίσον μηδέν.
Είσοδος δύο δίνει ως έξοδο θετικό έξι, καθώς δύο επί τρία ίσον έξι.
Και ας κάνουμε άλλο ένα. Είσοδος τέσσερα δίνει έξοδο δώδεκα, γιατί τρία επί τέσσερα ίσον δώδεκα.
Μπορώ να πάρω τα ζεύγη αυτών των αριθμών και να τα σχεδιάσω στο επίπεδο xy.
Ας σας δείξω πώς φαίνεται περίπου, και μετά θα σας δείξω μια καλύτερη εκτύπωση.
Στην αρχή, σχεδιάζω τους άξονες.
Το y στην κατακόρυφο θα είναι f του x, η έξοδος, και η είσοδος θα είναι εδώ κάτω, στον οριζόντιο άξονα.
Και μετά ας θέσω την κλίμακα.
Αυτοί είναι οι άξονές μου και τώρα μπορώ να σχεδιάσω σημεία.
Ίσως τα σχεδιάσω με διαφορετικό χρώμα για να φαίνονται.
Ας κάνουμε το μείον δύο και το μείον έξι. Το μείον δύο είναι κάτω στον άξονα των x.
Έτσι πηγαίνω δύο αριστερά και έξι κάτω, ώστε αυτό το σημείο είναι εδώ. Μηδέν με μηδέν είναι η αρχή των αξόνων.
Ακριβώς εδώ στο κέντρο: αυτό είναι το σημείο όπου το x είναι μηδέν και το y είναι μηδέν.
Δύο με έξι, είναι εδώ, δύο δεξιά και πάνω έξι
Και μετά τέσσερα με δώδεκα, δεξιά τέσσερα και πάνω δώδεκα, εδώ είναι.
Ώστε αυτά είναι τα τέσσερα σημεία μου.
Παίρνοντας αυτούς τους αριθμούς και σχεδιάζοντάς τους, η συνάρτηση αυτή μοιάζει πολύ με γραμμή: είναι γραμμική συνάρτηση.
Έτσι μπορώ να ενώσω τις τελείες, θα το κάνω με μωβ. Και αυτό είναι το γράφημα της συνάρτησης.
Αυτή η μωβ γραμμή είναι η συνάρτηση. Περιέχει τις ίδιες πληροφορίες με την εκδοχή των λέξεων και με την εκδοχή της εξίσωσης.
Μπορώ να πω, θέλω μια συνάρτηση που τριπλασιάζει την είσοδο,
μπορώ να περιγράψω τη συνάρτηση λέγοντας f του x ίσον τρία x,
ή μπορώ να περιγράψω τη συνάρτηση δίνοντάς σας το γράφημα αυτό. Το σημαντικό είναι
ότι όλοι οι τρόποι περιέχουν την ίδια πληροφορία. Ας δούμε την καλύτερη εκδοχή αυτού του γραφήματος.
Εδώ είναι ένα γράφημα που έκανε ο υπολογιστής. Μπορούμε να δούμε ότι είναι παρόμοιο με το γράφημα που ζωγράφισα πριν.
Πάλι, αυτό το γράφημα περιέχει την ίδια πληροφορία με την εξίσωση.
Έτσι μπορώ να χρησιμοποιήσω το γράφημα για να υπολογίσω ένας ζεύγος εισόδου-εξόδου.
Για παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι μ' ενδιαφέρει η f του δέκα.
Αν έχουμε δέκα στη συνάρτηση f του δέκα, τι συμβαίνει;
Θα το διαβάσω από το γράφημα. Εδώ είναι η τιμή εισόδου μου, δέκα,
αναβαίνω πάνω στη γραμμή που αναπαριστά τη συνάρτηση και διαβάζω στον κάθετο άξονα
ότι η τιμή είναι τριάντα.
Φυσικά, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε το συγκεκριμένο γράφημα καθώς έχουμε την εξίσωση,
αλλά το σημαντικό είναι ότι αν δεν είχαμε την εξίσωση, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τιμές της συνάρτησης διαβάζοντάς τες από το γράφημα.
Ας κάνουμε άλλο ένα γραφικό παράδειγμα. Αυτή είναι η συνάρτηση και το γράφημά της.
Για ποικιλία θα το πω h του x, αντί για f ή g, και δεν έχουμε τύπο (εξίσωση).
Ούτε έχουμε λεκτική περιγραφή της συνάρτησης, οπότε για να υπολογίσουμε
τιμές εισόδου και εξόδου απαιτείται να χρησιμοποιήσουμε το γράφημα.
Ας δούμε πώς πάει. Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει η h του τέσσερα.
Έτσι, αν η είσοδος είναι τέσσερα, πόσο είναι η έξοδος;
Η τιμή εισόδου είναι κάτω εδώ, είναι τέσσερα,
και μετά θα ρωτήσω πόσο είναι η h του x αν το x είναι τέσσερα. Αυτό μου το δείχνει η καμπύλη αυτή.
Το ύψος της καμπύλης είναι η τιμή της h του τέσσερα.
Και θα το διαβάσω, βλέποντας ότι είναι γύρω στο δέκα.
Έτσι, η h του τέσσερα είναι γύρω στο δέκα, και μπορώ να βάλω ένα κυματιστό ίσον εκεί για να δείξω ότι πρόκειται για προσέγγιση.
Ίσως η καμπύλη δεν περνά ακριβώς από το δέκα, δεν μπορώ να είμαι σίγουρος,
αλλά είμαστε ΟΚ. Ας δούμε μερικά ακόμα σημεία.
h του δύο. Αν δύο είναι η είσοδος, πόσο είναι η συνάρτηση; Ας το δούμε.
Εδώ είναι η τιμή δύο του x. Και h του δύο είναι το ύψος της καμπύλης.
Θα δω εδώ στην καμπύλη και μετά θα διαβάσω στον άξονα και θα πω ότι είναι γύρω στο έξι.
Και πάλι είναι προσέγγιση, αλλα είναι ΟΚ. Ας κάνουμε άλλο ένα.
Ίσως h του μείον δύο. Έτσι τώρα η είσοδός μου είναι μείον δύο. Πόσο είναι η τιμή της συνάρτησης;
Αυτό είναι το ύψος της καμπύλης εδώ και βλέπω ότι είναι γύρω στο δύο και μισό (2,5).
Όχι ακριβώς, μια προσέγγιση, αλλά ΟΚ.
Για να συνοψίσουμε, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη συνάρτησή μας με λέξεις ή με μια εξίσωση ή με ένα γράφημα.
Και τα τρία είναι ισοδύναμα. Ορίζοντας το γράφημα μιας συνάρτησης είναι το ίδιο με την εξίσωση:
μπορούμε να υπολογίσουμε το κάθετι από το γράφημα όπως και από την εξίσωση.
Συχνά είναι πιο εύκολο να δουλεύουμε με το γράφημα, κάτι που θα χρησιμοποιήσουμε σε αυτήν αλλά και την επόμενη ενότητα.