Dans cette leçon, vous apprendrez précisément ce qui constitue un jeu.
Cependant, avant cela, nous devons établir la notion intuitive de ce
que l'on appelle un ensemble.
Pour ce qui nous concerne, lorsque nous entendons le mot « ensemble »,
il nous suffit de penser à un seau.
À quoi sert un seau ?
Nous appellerons ce seau « A ».
Les seaux contiennent des choses ; ce sont des conteneurs.
Ainsi, par exemple, l'ensemble « A » pourrait contenir les nombres 1 et 2.
Il pourrait aussi contenir le symbole étoile.
Mais le plus important, c'est qu'un seau peut aussi contenir d'autres seaux.
On peut donc dire que l'ensemble « B » est à l'intérieur de l'ensemble « A ».
Si je veux faire référence aux objets à l'intérieur de « A », je les appelle
des « éléments ».
Par exemple, je dirais : l'étoile est un élément de « A », ou le
seau « B » — l'ensemble « B » — est un élément de « A ».
Encore une fois, pour ce qui nous concerne, quand on entend le
mot « ensemble », il suffit de penser à un contenant qui peut éventuellement
contenir d'autres contenants.
D'accord ? Bien.
Maintenant, nous pouvons définir un jeu.
Nous définissons donc un jeu, « G », comme un ensemble — j'utilise des
accolades pour le noter — composé de trois éléments : « P », « A » et « U ».
« P » correspond aux joueurs (« players »). « A » aux
actions. Et « U » à l'utilité (« utility »).
Que l'on appelle aussi parfois les gains (« payoffs »).
Je vais maintenant aborder chacun de ces termes.
Commençons par les joueurs, c'est très simple.
« P » est également un ensemble qui désigne les décideurs d'un jeu.
Par exemple, si deux joueurs ou deux personnes jouent aux échecs, il
peut s'agir de José et Maria.
Ils jouent aux échecs.
Cependant, les décideurs ne sont pas forcément des humains.
Par exemple, les robots prennent des décisions.
On peut penser à une voiture autonome qui prend une décision.
Le jeu peut donc se dérouler entre le robot 1, le robot 2 et le robot 3.
De manière plus générique, je fais toujours ou typiquement référence
aux joueurs comme étant simplement un ensemble, où les joueurs sont P1,
joueur 1, joueur 2, jusqu'au joueur n.
Ainsi, un jeu qui a « n » joueurs est — assez logiquement — simplement
appelé un jeu à n joueurs. D'accord ?
Donc, les joueurs, « P », est un ensemble qui liste les décideurs dans un jeu.
D'accord ?
Qu'en est-il des actions ?
« A » est un ensemble avec des éléments, que nous nommerons a1, a2, an.
Où chaque petit « a » désigne ce que chaque joueur peut faire.
Par exemple, imaginons un jeu à 2 joueurs.
L'ensemble des joueurs est donc P1, P2.
Et l'ensemble d'actions est a1, a2.
Où a1 nous dit que le joueur 1 — son coup — peut jouer soit « Haut »,
soit « Bas ». C'est son action.
Et le joueur 2 peut aller soit à « Gauche », soit à « Droite ».
Donc, l'ensemble « A » des actions nous indique ce que chaque joueur peut faire
dans le jeu.
Enfin, l'utilité.
« U », l'utilité, est aussi un ensemble composé d'éléments : U1, U2,
Un, où chaque élément est en réalité une fonction.
La fonction prend en entrée — les actions — de tous les joueurs, et donne
en sortie — la récompense — pour un joueur donné.
Par exemple, U1 est une fonction.
Elle peut indiquer que si le joueur 1 joue « Haut » et le joueur 2
joue « Gauche » — je reprends l'exemple avec « Haut » et « Gauche » — alors
le joueur 1 reçoit une récompense de 2.
Cependant, on peut aussi dire que si le joueur 1 joue « Haut » et que le
joueur 2 joue « Droite », alors le joueur 1 reçoit une récompense de -7.
Chaque « u » dans l'ensemble « U » fournit la fonction d'utilité pour
chaque joueur.
Et voilà.
Un jeu est un ensemble, composé de joueurs, d'actions et d'utilités.
Il définit qui prend les décisions, quelles décisions peuvent être
prises, et quelle récompense chaque joueur obtient en fonction des
décisions de tous les joueurs.
Dans la prochaine leçon, nous apprendrons à représenter un jeu sous une forme
matricielle simple, connue sous le nom de jeu sous forme normale.