在1960年代早期，Edward Lorenz (洛伦兹）,麻省理工学院的气象学家

正致力于开发一种系统，简化高层大气中的对流，以进行长期天气预报（5天以上）。

天气很复杂！

理论上的简化是必要的。

1963年，我们推出了一个三维系统，

用于模拟天气的远程预测。

使用该系统进入“对初始条件的敏感性”。

在这个过程中，他勾勒出了最早被认可的混沌吸引子之一的轮廓。

他得出的结论是，模型方程在表示某些天气方面

是不准确的，或者模型可能是准确的，但是方程的一些异常性质

使我们的预测变得困难。

洛伦兹系统描述了不同温度下层之间的流体运动。

具体地，流体从下方均匀加热并从上方均匀冷却。

通过提高两个表面之间的温差，我们首先观察到线性温度梯度，

然后形成Rayleigh-Benard对流细胞。

对流后，还观察到湍流状态：

Lorenz吸引子通过微分方程定义三维轨迹：

σ，r，b是参数

在计算该模型时，Lorenz遇到了一个奇怪的现象。

在连续两次尝试输入稍微不同的输入值后，

他获得了完全不同的输出。

这种效果后来被命名为蝴蝶效应; “蝴蝶效应”是指在一个动态系统中

初始条件的微小变化，将能带动整个系统长期且巨大的连锁反应。

随着时间的推移，这种系统变得不可预测，这种想法产生了一种蝴蝶

在世界的一个区域拍打它的翅膀的概念，导致龙卷风或

一些这样的天气事件发生在世界的另一个偏远地区。

下图显示了Lorenz吸引子中函数 x(t) 和 z(t)

对推荐参数值的时间依赖性，而蓝色曲线与初始条

件x(0)=1;有关; y(0)=1; z(0)=10，红色曲线与

初始条件 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01

初始条件的微小变化导致函数解的大的变化。

如果我们在S1计算系统的雅可比行列式，那么我们有：

并且J的特征值是：

如果对其他两个点执行相同操作，则对于推荐的参数值，

所有三个固定点都不稳定，因为它们都包含具有

正实部的特征值。

一个混沌系统大致由对初始条件的

敏感性定义：系统初始条件的微小差异

导致行为的巨大差异。

混沌系统通常不会失控，而是在有限的运行条件下保持。

混沌在灵活性和稳定性，适应性和可靠性之间提供了平衡。

它生活在秩序和随机性之间的边缘。

您如何看待算法复杂度可用于分析此类系统？

如果您没有描述系统的方程式而您只观察靠近其吸引子的系统输出，

该怎么办？

正如您所见，动力系统可以有不同类型的吸引子。

如果系统朝着单一状态发展并保持在那里，我们将其称为固定点。

一个例子是球形碗底部的阻尼摆或球形。

当系统发展到极限周期时, 它将是周期性或准周期性吸引子。

一个例子是无阻摆或绕太阳运行的行星。

如果系统对初始条件非常敏感，并且我们无法简单地预测其行为，

我们称之为混沌吸引子：

一个例子是Lorenz吸引子，如果是的话，系统最终会有奇怪的吸引子

对初始条件非常敏感，无法简单地预测其行为，

但在这种情况下，系统具有与分形相同的属性。

换句话说，奇怪的吸引子代表了一个分形。

一个例子是Mandelbrot集。

分形是一种几何形状，分形是一种非规则的几何形状，

在所有尺度上具有相同程度的非规则性。

分形可以被认为是无限具有自相似结构的固定模式

它的边界的Hausdorff维数高于

边界的拓扑维度。

一个例子是Cantor集：其中原始线被分成三个部分，

而中间部分被擦除。

如果我们将此过程重复到无穷大，则对新创建的线等应用相同的过程，

我们获得具有拓扑维度0的无限多个点。

该集合包含n = 2个自身的副本，减少到原始维度的1/3（k = 3）。

Hausdorff维数是 log(2)/log(3)=0.6309…其大于0。

到目前为止，我们已经学习了相位空间中的动力系统，

遵循它们的动力法则。

我们看到了连续动力系统的例子，并学会如何分析它。

在后两个讲座中，我们将研究离散动力系统。