No começo dos anos 1960, Edward Lorenz, um professor do MIT estava trabalhando no desenvolvimento de um sistema para simplificar
os rolos de convecção na atmosfera superior para previsão do tempo de longo alcance (+5 dias).
Um longo alcance significa 5 dias, não mais que isso.
Entretanto, o clima é complicado. Uma simplificação teórica era necessária.
Em 1963 derivou um sistema tridimensional com o intuito de modelar predições de longo alcance
para o clima.
Mas, enquanto usava o sistema, se deparou com um problema, a "sensibilidade às condições iniciais".
No processo, ele esboçou os rascunhos de um dos primeiros atratores caóticos reconhecidos.
E ele chegou à conclusão que as equações do modelo eram imprecisas nas suas representações de
alguns aspectos do clima ou o modelo pode até ser preciso, mas há uma propriedade anômala
das equações que dificulta a predição.
O sistema de Lorenz descreve o movimento de um fluido entre duas camadas em temperaturas diferentes.
Especificamente, o fluido é aquecido uniformemente a partir de baixo e esfriado uniformemente a partir de cima.
Ao aumentar a diferença de temperatura entre as duas superfícies, nós observamos inicialmente uma
temperatura gradiente linear, e então a formação das células de convecção de Rayleigh-Bernard.
Após a convecção, um regime turbulento é também observado.
O atrator de Lorenz define uma trajetória tridimensional pelas equações diferenciais:
σ, r, b são parâmetros
Quando estava calculando este modelo, Lorenz encontrou um fenômeno estranho.
Após colocar valores de entrada ligeiramente diferentes para duas tentativas consecutivas ele obteve resultados
completamente diferentes.
Mais tarde, este efeito foi denominado efeito borboleta; o "Efeito Borboleta" é a propensão de
um sistema ser sensível a condições iniciais.
Tais sistemas se tornam imprevisíveis com o tempo. Essa ideia deu origem à noção de que o bater das asas
de uma borboleta numa área do mundo, pode causar um tornado ou outro evento climático do tipo
acontecer em outra área remota do mundo.
Os gráficos seguintes mostram a dependência do tempo das funções x(t) e z(t) no atrator de Lorenz
para os valores de parâmetro recomendados, enquanto as curvas azuis estão relacionadas às condições iniciais
x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 e as curvas vermelhas estão relacionadas às condições iniciais x(0)=1; y(0)=1;
z(0)=10.01
Uma mudança muito pequena na condição inicial resulta numa grande mudança na solução da função.
Se nós calcularmos o Jacobiano do sistema em S1, então temos:
E autovalores de J são:
Se você faz o mesmo para os outros dois pontos então para os valores de parâmetros recomendados
todos os três pontos fixos são instáveis, porque todos eles incluem um autovalor com
parte positiva real.
Um sistema caótico é mais ou menos definido pela sensibilidade às condições
iniciais: diferenças infinitesimais nas condições iniciais do sistema resultam
em amplas diferenças no comportamento. Caos fornece um equilíbrio entre flexibilidade e estabilidade, adaptabilidade e confiabilidade.
Sistemas caóticos geralmente não fogem de controle
mas permanecem dentro das condições limitadas de operação.
Vive na beira entre ordem e aleatoriedade.
Como você acha que a complexidade algorítmica pode ser usada para analisar este tipo de sistema?
E se você não tem equações descrevendo o sistema e você observa apenas a saída
do sistema perto do seu atrator?
Como você viu, sistemas dinâmicos podem ter diferentes tipos de atratores.
Se o sistema evolui para um estado único e permanece lá, nós chamamos de ponto fixo.
Um exemplo é um pêndulo amortecido ou uma esfera no fundo de uma tigela esférica.
Será um atrator periódico ou quasi-periódico quando o sistema evolui para um ciclo limite.
Um exemplo é o pêndulo não amortecido ou um planeta orbitando ao redor do Sol.
Se o sistema é muito sensível às condições iniciais e nós não somos capazes de simplismente prever
o seu comportamento, nós o chamamos de atrator caótico.
Um exemplo é o atrator de Lorenz. Mas existe um novo tipo de atrator, que nós ainda não falamos sobre. Atrator estranho. O sistema tem atrator estranho se é
também muito sensível às condições iniciais e nós não somos capazes de simplismente prever
seu comportamento, mas neste caso, o sistema tem as mesmas propriedades como fractais.
Em outras palavras, o atrator estranho representa um fractal.
Um exemplo é o conjunto de Mandelbrot.
O fractal é uma forma geométrica, um fractal é uma forma geométrica não regular que tem
o mesmo grau de não regularidade em todas as escalas.
Os fractais podem ser pensados como padrões sem fim.
Eles têm uma dimensão de Hausdorff de sua borda maior que a dimensão topológica
da borda.
Um exemplo é o conjunto de Cantor, onde a linha original é dividida em três partes enquanto a
parte do meio é apagada.
O mesmo procedimento é aplicado às novas linhas criadas. Se nós repetirmos isto infinitamente
nós obtemos um número infinito de pontos com dimensão topológica 0.
O conjunto contém n=2 cópias dele mesmo, reduzidas a 1/3 da dimensão original (k=3).
A dimensão de Hausdorff é log(2)/log(3)=0.6309... que é maior que 0.
Até agora nós aprendemos que os sistemas dinâmicos vivem no espaço de fase e se desenvolvem no tempo,
seguindo sua própria lei dinâmica.
Nós vimos exemplos de sistemas dinâmicos contínuos e aprendemos como analisa-los.
Nas próximas duas aulas, nós vamos fazer o mesmo para o sistema dinâmico discreto.