在本节中，我将讨论更高维系统。

在高维系统中，轨迹的移动可以表现出

更广泛的动态行为。

固定点仍然存在，但可以更有趣，

这取决于轨迹如何接近或排斥平衡点，

例如系统可以螺旋到稳定点。

存在其他类型的稳定性，例如鞍形节点，以及重要的循环/周期性行为：

周期极限。

所以更有趣，但更难以分析......

与一维系统类似，我将介绍如何找到固定点并

为这些系统分类固定点。

假设我们有以下系统：

首先我们需要学习如何找到固定点然后检查固定点的稳定性，

最后我们将检查相平面和轨迹。

要像以前一样找到固定点，我们需要求解dx / dt = 0和dy / dt = 0

来得到固定点（x0，y0）。

那么让我们来看看捕食者 - 猎物系统

所以（0,0）是固定点。

其他固定点为（80,12）。

为了检查固定点处/附近的行为，我们可以检查它们随时间或

相位平面的变化。

在相空间（或相平面）中查看，其中x相对于y而不是时间绘制，

提供了关于系统的更多信息。

系统可以显示固定的循环行为，

但系统不在固定点：更高维度的复杂性。

在继续课程之前，我们需要定义雅可比矩阵。

雅可比矩阵是相对于另一个矢量的矢量或

标量值函数的所有一阶偏导数的矩阵。

该矩阵经常被标记为J，Df或A.雅可比矩阵

用于对高阶线性动力系统的不动点进行分类：

假设x0 =（x0，y0）T是一个固定点。

定义雅可比行列式：

找到在固定点评估的J的特征值和特征向量：

如果特征值具有负实部，则x0渐近稳定

如果至少有一个具有正实部，则x0不稳定

如果特征值是纯虚的，稳定或不稳定的

可以看到各种行为取决于特征值和特征向量。

在这里可以看到二维线性动力系统的一些示例。

通常，吸引点有负特征值，排斥点有正特征值。

吸引力轴是特征向量。

如果我们回到我们的例子：

那么我们有fx = 0.6 - 0.05y，fy = 0.05x，
gx = 0.005y，gy = 0.005x-0.4

对于（0,0）特征值0.6和-0.4以及特征向量（1,0）和（0,1）。

主坐标轴不稳定（鞍点）。

对于（80,12），特征值是纯虚数。

要使动力系统稳定：

所有特征值的实部必须是负的。

所有特征值都位于左半复平面中。

如果存在螺旋固定点（一些复杂的特征值），

则动态系统是欠阻尼的，并且如果表现出节点行为（所有特征值实数）

并且在它们之间的边界处具有临界阻尼，则我们说它是过阻尼的。

我们可以使用雅可比矩阵的轨迹和行列式对动力系统进行分类。

是否有使用特征值的线性三维系统的分类？

让我们看一下二维系统的更多示例。

考虑以下系统：

雅可比矩阵是：

并且特征值是λ1= -1，λ2= -4并且特征向量将是

有一个稳定的固定点，即吸引节点。

现在，如果我们将系统更改为：

并且特征值是λ1= 1，λ2= 4，

这意味着它是一个不稳定的固定点，即排斥节点

相比之下，吸引子，推斥是一个状态空间，

系统在周围区域时会趋向于这个空间。

第三个系统有另一种称为鞍点的不稳定固定点。

对于非线性方程，固定点附近的行为

将“几乎像”线性系统的行为，取决于它几乎是“线性”的。

行为变得不像线性,

从固定点获得更远的轨迹。