在本节中，我将讨论更高维系统。
在高维系统中，轨迹的移动可以表现出
更广泛的动态行为。
固定点仍然存在，但可以更有趣，
这取决于轨迹如何接近或排斥平衡点，
例如系统可以螺旋到稳定点。
存在其他类型的稳定性，例如鞍形节点，以及重要的循环/周期性行为：
周期极限。
所以更有趣，但更难以分析......
与一维系统类似，我将介绍如何找到固定点并
为这些系统分类固定点。
假设我们有以下系统：
首先我们需要学习如何找到固定点然后检查固定点的稳定性，
最后我们将检查相平面和轨迹。
要像以前一样找到固定点，我们需要求解dx / dt = 0和dy / dt = 0
来得到固定点（x0，y0）。
那么让我们来看看捕食者 - 猎物系统
所以（0,0）是固定点。
其他固定点为（80,12）。
为了检查固定点处/附近的行为，我们可以检查它们随时间或
相位平面的变化。
在相空间（或相平面）中查看，其中x相对于y而不是时间绘制，
提供了关于系统的更多信息。
系统可以显示固定的循环行为，
但系统不在固定点：更高维度的复杂性。
在继续课程之前，我们需要定义雅可比矩阵。
雅可比矩阵是相对于另一个矢量的矢量或
标量值函数的所有一阶偏导数的矩阵。
该矩阵经常被标记为J，Df或A.雅可比矩阵
用于对高阶线性动力系统的不动点进行分类：
假设x0 =（x0，y0）T是一个固定点。
定义雅可比行列式：
找到在固定点评估的J的特征值和特征向量：
如果特征值具有负实部，则x0渐近稳定
如果至少有一个具有正实部，则x0不稳定
如果特征值是纯虚的，稳定或不稳定的
可以看到各种行为取决于特征值和特征向量。
在这里可以看到二维线性动力系统的一些示例。
通常，吸引点有负特征值，排斥点有正特征值。
吸引力轴是特征向量。
如果我们回到我们的例子：
那么我们有fx = 0.6 - 0.05y，fy = 0.05x， gx = 0.005y，gy = 0.005x-0.4
对于（0,0）特征值0.6和-0.4以及特征向量（1,0）和（0,1）。
主坐标轴不稳定（鞍点）。
对于（80,12），特征值是纯虚数。
要使动力系统稳定：
所有特征值的实部必须是负的。
所有特征值都位于左半复平面中。
如果存在螺旋固定点（一些复杂的特征值），
则动态系统是欠阻尼的，并且如果表现出节点行为（所有特征值实数）
并且在它们之间的边界处具有临界阻尼，则我们说它是过阻尼的。
我们可以使用雅可比矩阵的轨迹和行列式对动力系统进行分类。
是否有使用特征值的线性三维系统的分类？
让我们看一下二维系统的更多示例。
考虑以下系统：
雅可比矩阵是：
并且特征值是λ1= -1，λ2= -4并且特征向量将是
有一个稳定的固定点，即吸引节点。
现在，如果我们将系统更改为：
并且特征值是λ1= 1，λ2= 4，
这意味着它是一个不稳定的固定点，即排斥节点
相比之下，吸引子，推斥是一个状态空间，
系统在周围区域时会趋向于这个空间。
第三个系统有另一种称为鞍点的不稳定固定点。
对于非线性方程，固定点附近的行为
将“几乎像”线性系统的行为，取决于它几乎是“线性”的。
行为变得不像线性,
从固定点获得更远的轨迹。