在本讲中，我将讨论动态系统分析。 我们可以求解

特定起点的方程，但这不足以让我们理解系统。

因此，我们使用补充分析，侧重于寻找系统

随时间保持不变的平衡状态（静止/关键/固定点）。

分析确定系统随时间的行为方式，特别是在给定当前任何状态

即系统的长期行为。 推测系统的未来行为。

我们还尝试通过调查它们附近系统的行为

将这些状态/点分类为稳定/不稳定。

我们学习如何找到系统的固定点并将它们分类为1维（空间）系统

和2维（更高）系统的稳定/不稳定，但不会谈论稳定性定理的证明，

许多特殊情况将集中在,

如何使用它们来分析您的系统。这些讲座是了解使用基于算法复杂性的工具

进行动力系统分析的入门读物。

因此，让我们从现在可以测试的东西开始，尝试在桌子上平衡硬币！

你可以用多少种方式做到这一点，我不能用两种以上的方式做到这一点，

但有一种方式，即正面，反面和边缘。 因此，假设您是专家之一

并且可以在其边缘平衡硬币，它是稳定的吗？

......不！ 小的移动（扰动）意味着硬币将以两种不同的

平衡之一结束：头/尾。

正面和反面怎么样？ 是的，它们都是稳定的，

因为扰动不会导致状态的变化。

同样，想想在黑暗的风景中休息的球。 它位于山顶

或山谷底部。 要找出哪个，推它（扰乱它），

看它是否回来了。 （扁平位怎么样？）

因此，动态系统随着时间的推移而发展的集合称为吸引子。

它可以是点，曲线或更复杂的结构。扰动是物理系统中的一个小变化，

通常是在物理系统中处于平衡状态，从外部受到干扰。

每个吸引子都有一个吸引力盆地，其中包含所有初始条件，

这些条件将产生渐近地连接这个吸引子的轨迹。

在研究非线性动力系统时，如果我们只对长时间行为感兴趣，

我们将只研究系统的吸引子并确定它们的吸引力。

“最简单”的吸引子之一就是重点：它是固定点，即

验证 dX/dt(x∗)= 0 的相空间的特定点。

动态系统的相应解决方案不依赖于时间。这是一个静止状态。

那么这个系统的固定点是多少 dx/dt = 6x(1 – x) ?

如果我们求解 6x(1-x) = 0 ，我们可以找到2个固定点：

它们是否稳定？

为了测试我们扰乱点并看看发生了什么但是为了扰乱它们

我们必须有一个系统的模型。

使用差分方程：x(t+h) = x(t) +h , 不同的初始x的dx / dt。

如果我们扰乱每个固定点并查看系统的输出是否会改变，

我们可以看到X = 0不稳定, 且x = 1稳定。

一维动力系统的稳定性有一般规则：

如果a0是固定点：

如果f'（a0）> 0，则a0不稳定

如果f'（a0）<0，则a0稳定

如果| f'（a0）= 0，则不确定。

其中 f’(a0) 表示在a0处评估的f， df/dx 的导数。

如果 f’(a0) = 0需要使用更高的导数或其他方法，并且可以从上方或下方

或周期性半稳定...

现在我们知道固定点是动态系统的一个特殊点，

它不会随时间变化。 它也被称为系统的平衡点，稳态或奇点。

如果系统由等式 dx/dt= f(x) 定义，则可以通过

检查条件 f(𝑥 ̃)=0. 来找到固定点𝑥。

我们不需要知道x(t)的解析解。

一个稳定的固定点：对于 𝑥 ̃ 附近的所有起始值x0，

系统在t→∞，系统收敛到 𝑥 ̃ 。

一个边缘稳定的固定点：对于所有起始值x0接近𝑥 ̃，系统保持接近𝑥

但不收敛到𝑥 ̃。一个不稳定的固定点：

起始值x0非常接近 𝑥 ̃ , 系统移动远离 𝑥 ̃ 。

现在让我们通过观察另一种生物模型 -

细菌生长模型来完成讲座。

我们在盘子里留下营养液和一些细菌。 设b是细菌繁殖的相对速率，

p是它们死亡的相对速率。

然后人口以r = b-p的速度增长。 如果培养皿中有x细菌，

那么细菌数量增加的速率是 (b− p)x，即 dx/dt = rx。

对于 x(0)=x0，该等式的解是

但是，这种模式是否真实？

不，该模型不现实，因为细菌数量在r> 0时进入无穷大。

但实际上随着细菌数量的增加，它们会产生更多的有毒产物。

因此，我们将假定相对消亡率取决于它们的数量px

而不是恒定的相对消亡率p。 因此，细菌数量增加了bx，它们的数量减少了px2，

新的微分方程将是：

这个模型有多少个固定点？

为了能够找到一个固定点，我们必须将微分方程的右侧设置为零。

有两种可能的解决方案，我们有两个固定点：

让我们看看他们的意思并检查他们的稳定性。

第一个固定点意味着没有细菌，没有一个可以诞生，没有死亡。

然而，在小于 b/p 的小污染（扰动）之后，

细菌数量将增加dx / dt = bx-px2> 0并且将永远不会返回到零状态。

第一个固定点不稳定。

第二点x = b / p，在这个种群水平上，

细菌以b2 / p的速率出生并且以相同的速率死亡，

因此出生率和死亡率完全平衡。

如果细菌数量略有增加，那么dx / dt = bx-px2 <0

并将恢复平衡。 如果细菌数量会略微减少，则dx / dt = bx-px2> 0

并恢复平衡。 远离x = b / p的小扰动将自我

校正到b/p。 因此第二个固定点是稳定的。Mathematica中图像解看起来像吗？