在本讲中，我将讨论动态系统分析。 我们可以求解
特定起点的方程，但这不足以让我们理解系统。
因此，我们使用补充分析，侧重于寻找系统
随时间保持不变的平衡状态（静止/关键/固定点）。
分析确定系统随时间的行为方式，特别是在给定当前任何状态
即系统的长期行为。 推测系统的未来行为。
我们还尝试通过调查它们附近系统的行为
将这些状态/点分类为稳定/不稳定。
我们学习如何找到系统的固定点并将它们分类为1维（空间）系统
和2维（更高）系统的稳定/不稳定，但不会谈论稳定性定理的证明，
许多特殊情况将集中在,
如何使用它们来分析您的系统。这些讲座是了解使用基于算法复杂性的工具
进行动力系统分析的入门读物。
因此，让我们从现在可以测试的东西开始，尝试在桌子上平衡硬币！
你可以用多少种方式做到这一点，我不能用两种以上的方式做到这一点，
但有一种方式，即正面，反面和边缘。 因此，假设您是专家之一
并且可以在其边缘平衡硬币，它是稳定的吗？
......不！ 小的移动（扰动）意味着硬币将以两种不同的
平衡之一结束：头/尾。
正面和反面怎么样？ 是的，它们都是稳定的，
因为扰动不会导致状态的变化。
同样，想想在黑暗的风景中休息的球。 它位于山顶
或山谷底部。 要找出哪个，推它（扰乱它），
看它是否回来了。 （扁平位怎么样？）
因此，动态系统随着时间的推移而发展的集合称为吸引子。
它可以是点，曲线或更复杂的结构。扰动是物理系统中的一个小变化，
通常是在物理系统中处于平衡状态，从外部受到干扰。
每个吸引子都有一个吸引力盆地，其中包含所有初始条件，
这些条件将产生渐近地连接这个吸引子的轨迹。
在研究非线性动力系统时，如果我们只对长时间行为感兴趣，
我们将只研究系统的吸引子并确定它们的吸引力。
“最简单”的吸引子之一就是重点：它是固定点，即
验证 dX/dt(x∗)= 0 的相空间的特定点。
动态系统的相应解决方案不依赖于时间。这是一个静止状态。
那么这个系统的固定点是多少 dx/dt = 6x(1 – x) ?
如果我们求解 6x(1-x) = 0 ，我们可以找到2个固定点：
它们是否稳定？
为了测试我们扰乱点并看看发生了什么但是为了扰乱它们
我们必须有一个系统的模型。
使用差分方程：x(t+h) = x(t) +h , 不同的初始x的dx / dt。
如果我们扰乱每个固定点并查看系统的输出是否会改变，
我们可以看到X = 0不稳定, 且x = 1稳定。
一维动力系统的稳定性有一般规则：
如果a0是固定点：
如果f'（a0）> 0，则a0不稳定
如果f'（a0）<0，则a0稳定
如果| f'（a0）= 0，则不确定。
其中 f’(a0) 表示在a0处评估的f， df/dx 的导数。
如果 f’(a0) = 0需要使用更高的导数或其他方法，并且可以从上方或下方
或周期性半稳定...
现在我们知道固定点是动态系统的一个特殊点，
它不会随时间变化。 它也被称为系统的平衡点，稳态或奇点。
如果系统由等式 dx/dt= f(x) 定义，则可以通过
检查条件 f(𝑥 ̃)=0. 来找到固定点𝑥。
我们不需要知道x(t)的解析解。
一个稳定的固定点：对于 𝑥 ̃ 附近的所有起始值x0，
系统在t→∞，系统收敛到 𝑥 ̃ 。
一个边缘稳定的固定点：对于所有起始值x0接近𝑥 ̃，系统保持接近𝑥
但不收敛到𝑥 ̃。一个不稳定的固定点：
起始值x0非常接近 𝑥 ̃ , 系统移动远离 𝑥 ̃ 。
现在让我们通过观察另一种生物模型 -
细菌生长模型来完成讲座。
我们在盘子里留下营养液和一些细菌。 设b是细菌繁殖的相对速率，
p是它们死亡的相对速率。
然后人口以r = b-p的速度增长。 如果培养皿中有x细菌，
那么细菌数量增加的速率是 (b− p)x，即 dx/dt = rx。
对于 x(0)=x0，该等式的解是
但是，这种模式是否真实？
不，该模型不现实，因为细菌数量在r> 0时进入无穷大。
但实际上随着细菌数量的增加，它们会产生更多的有毒产物。
因此，我们将假定相对消亡率取决于它们的数量px
而不是恒定的相对消亡率p。 因此，细菌数量增加了bx，它们的数量减少了px2，
新的微分方程将是：
这个模型有多少个固定点？
为了能够找到一个固定点，我们必须将微分方程的右侧设置为零。
有两种可能的解决方案，我们有两个固定点：
让我们看看他们的意思并检查他们的稳定性。
第一个固定点意味着没有细菌，没有一个可以诞生，没有死亡。
然而，在小于 b/p 的小污染（扰动）之后，
细菌数量将增加dx / dt = bx-px2> 0并且将永远不会返回到零状态。
第一个固定点不稳定。
第二点x = b / p，在这个种群水平上，
细菌以b2 / p的速率出生并且以相同的速率死亡，
因此出生率和死亡率完全平衡。
如果细菌数量略有增加，那么dx / dt = bx-px2 <0
并将恢复平衡。 如果细菌数量会略微减少，则dx / dt = bx-px2> 0
并恢复平衡。 远离x = b / p的小扰动将自我
校正到b/p。 因此第二个固定点是稳定的。Mathematica中图像解看起来像吗？