分析动态系统的第一步是推导出它的模型。
模型可以采用不同的形式，它取决于特定的系统和具体情况。
动态系统的数学模型通常可以表示为微分系统
（离散时间系统的情况下的差异）方程。
如果求解这些微分方程，则可以获得
动态系统对输入的响应。
微分方程可通过作用于特定系统的物理定律获得，
例如，机械系统里的牛顿定律，电气系统里的
基尔霍夫定律等。
在获得模型时，我们必须在模型的简单性
和分析结果的准确性之间进行折衷。
在本讲座中，我们将学习如何通过研究两个真实世界的动力系统来做到这一点，
但在此之前我们需要学习和回顾一些与状态空间相关的概念。
正如我们在前面的讲座中所学到的，在任何给定的时间，
动力系统都有一个由矢量给出的状态，可以表示为几何流形中的一个点。
动态系统的演化规则
描述了当前状态到未来状态。
我们还将常微分方程组的所有状态集
定义为相空间。
如果我们绘制相空间中运动方程的解，那么我们就有一个相位曲线。
如果我们绘制对应于相同相平面中的不同初始条件的单相或多相曲线，
则相位曲线取决于初始状态，
然后我们具有相位图。
为了完全理解动力系统的行为，我们需要知道系统
如何从一个位置移动到另一个位置，这是通过状态空间的轨迹来描述的。
轨迹或路径是状态空间中的位置集，
系统这些位置集是连续运动的。
现在让我们看看一个真实世界的动力系统，一个包含两种物种的生物系统 -
捕食者（狐狸）和猎物（兔子）。
一个生态系统中有数百个捕食者猎物关系的例子，
捕食是一种生物相互作用，有机体以狩猎为食。
捕食者与猎物之间存在持续的争斗，
捕食者和猎物的数量之间存在反比关系。
如果我们以狐狸 - 兔子为例，那么兔子，
将以速度离开 dr / dt = 100 r，狐狸没有兔子会饿死
它们的数量会以速度 dw / dt = -50f 下降。
当进入相同的环境时，狐狸会抓住并吃掉兔子。
兔子群体的损失将与狐狸数量f
和兔子数量r成正比。
捕食者 - 猎物模型最初由Lotka在1910年的自催化化学反应理论中提出，
Volterra独立于Lotka开发了他的模型并用
它来解释d'Ancona观察他的儿子在第一次世界大战期间观察
亚得里亚海增加的动物种群。
Lotka-Volterra模型是一对一阶非线性微分方程，
经常用于描述生物系统的动力学，其中两个物种相互作用，
一个作为捕食者，另一个作为猎物。
根据一对方程，群体随时间变化：
我们想在这里模拟的是周期性运动，
例如行星围绕太阳的运动是周期性的。
这种类型的周期性运动是可预测的，我们可以预测未来，
并在日食发生时重新回到过去。
在这些系统中，通常会对小扰动进行纠正，
长期来看，不会改变系统的轨迹。
交通灯或粒子运动的变化, 在力的作用下，在位移中是线性的，
也是周期性运动的例子。
运动的微分方程通常被识别为一些物理定律
并应用物理量的定义，用于对问题建立方程。
求解微分方程将导致具有任意常数的一般解，
从而产生一系列解。
通过设置初始值可以获得特解，
修正常量的值。
21：现在如果我们解决粒子运动的方程式，在力的作用下
我们可以看到运动在两个维度中的每个维度都是简谐的。
两个振荡具有相同的频率，但（通常）具有不同的振幅。
幅度A，B和相位α，β由初始条件确定。
因此不同的初始条件给出了不同的解。
22：如果我们想为这个系统绘制相位图，
我们需要找到它的所有路径。
通过消除解中的t来获得路径的等式。
并且这个系统的技巧是定义新的参数δ[符号]α - β
然后可以看到除了特殊情况，一般路径是椭圆状！
因此，该系统的相位图是一系列椭圆，
每个椭圆是不同初始条件的单独相位曲线。
研究这些图可以深入了解粒子运动的物理特性。
作业中您可以尝试在Mathematica中创建此振荡器的相位图。