欢迎来到算法信息动力学MOOC第五个模块。

我是Narsis，今天和你一起讨论动力学

系统。

在17世纪末，莱布尼兹（1646-1716) 和牛顿（1643-1727）

各自独立地发明了一个精彩的数学工具，无穷小微积分或

微分和积分微积分。

对预测未来，这是一个非常有效的水晶球，

系统的问题由微分方程控制。

使用它，庞加莱在天体力学方面的工作（庞加莱,1899），特别是在270页，

获奖和最初有缺陷的论文（庞加莱,1890）中开始了

动力系统的定性理论。

其中开发的方法为非线性微分方程的局部和全局分析奠定了基础，

包括使用首回归（庞加莱）图，

固定点和周期轨道的稳定性理论，稳定和不稳定流形

以及庞加莱递推定理。

在本单元中，我们的想法是让您对动态系统进行非常通用的介绍。

我们讨论了系统在循环通过某些状态时

通常如何仅占用整个空间的一小部分。

我们将讨论吸引子及其在系统动力学中

发挥的基本作用。

我们将非常简短地讨论由多个吸引子和

均衡组成的混沌和复杂体系。

介绍布尔网络作为离散动力系统的概念，

并学习如何分析它们。

好吧来看看动力系统的意义。

在科学和数学中，动力学是关于事物如何随时间变化的研究，

而不是仅仅根据静态属性来描述事物。

我们在观察周围事物状态如何随时间变化的模式

是我们可以用来描述我们在世界中看到的现象的另一种方式。

动态系统是很多可能的状态的集合，以及根据过去状态确定

当前状态的规则。

作为动态系统的示例，您可以考虑任何随时间变化的系统。

例如，钟摆，还是细菌种群的演变

或任何随时间演变的季节。

动力系统有两个部分, 状态空间和函数，我们用它们来

描述一个系统。

所以来看看它们是什么。

动力系统是一种固定的规则，是它描述一个给定空间中所有点随时间的变化情况。

这些是状态，状态空间是动态系统中使用的模型，

用于捕获系统随着时间的推移, 状态的变化。

形式上状态空间是动力系统所有可能状态的集合。

系统的每个状态对应于状态空间中的唯一点。

例如，理想摆的状态由其角度和角速度唯一定义，

因此状态空间是柱面的所有可能对

“（角度，角速度）”的集合。

通常, 任何抽象集都可以是某个动态系统的状态空间。

它是有限的，仅由几个点组成或由无数个点组成，

形成一个平滑的流形，通常是通常是常微分方程

和映射的情况。

这种状态空间通常称为相空间。

状态空间可以是无限维的，如偏微分方程

和时滞微分方程。

在符号动力学中，它是一个康托集，它是零维的。

此外，动力系统的第二部分，函数告诉我们，给定当前状态，

可以得到下一个时刻的系统的状态。

为了研究动力系统，有必要指定一些特征，

这些特征可以细分为动态系统的特殊类。

某些类可以使用特定方法，

因此这种分类有助于简化分析。

如果从过去的状态唯一地确定当前状态（不允许随机性)

动态系统是确定性的。

随机模型具有一些固有的随机性。

混沌模型是一种确定性模型，行为无法完全预测。

它们在短期内是可预测的，但在较长时期内似乎是随机的。

动力系统的一个重要特征是它是连续的还是离散的。

在离散系统中，状态变量仅在可数个

时间点发生变化。

这些时间点是事件发生/状态改变的时间点。

在连续动态系统中，状态变量以连续的方式变化，

而不是从一个状态突然变为另一个状态（无限多个状态）。

当实数时，系统被称为连续动力系统，

当整数时，系统被称为离散动力系统。

连续系统由微分方程给出，

而离散动力系统（通常称为映射）由差分方程指定。

让我们从离散开始，用k或n表示时间，

系统可以通过称为迭代映射的迭代计算来求解。

迭代图为我们提供的信息更少，但更简单，

更适合处理较多的实体，其中反馈非常重要。

典型的例子是银行账户的年度进展。

如果初始存款为100000欧元且年利率为3％，

那么我们可以通过以下方式描述系统：

在连续系统中，我们测量之间的时间间隔可以忽略不计，

使其看起来像一个长连续体，这是通过微积分语言

和使用微分方程或其中的一组来完成的。

例如，垂直抛物由初始条件h(0,v(0)和方程描述：

其中h是高度，v是物体的速度。

自牛顿和莱布尼茨时代以来，微积分和微分方程

已成为现代科学语言的关键部分。

尽管动力系统的分析处理通常非常复杂,

但获得数值解是简单的。

用数值方法求解微分方程有很多方式。

在可编程计算机存在之前，

开发了基于数值近似求解微分方程的技术。

在第二次世界大战期间，人们常常找到人（通常是女性）

从事机械计算器的房间，以计算方式解决军事的微分方程组。

最简单的方法是使用局部线性

或线性近似的一阶欧拉方法，其中我们在短距离上使用小切线

来近似解决初始值问题。

如果我们缩放到足够小，每条曲线看起来像直线，

因此，切线是我们计算一段时间内的好方法。

今天我们有许多数值方法来解决微分方程。

并且没有“最佳方式”或“最佳方法”，

因为要选择的方法在很大程度上取决于问题（刚性或非刚性，方程或系统，

平滑或不平滑的）。

对于“一般”或“标准”，4阶Runge-Kutta是好的，

很容易添加一个误差估计器，没有或几乎没有额外的成本。

预测校正Adams方法也可以完成这项工作，它们也很受欢迎。

微分方程非常适合很少的元素，它们为我们提供了大量的信息，

但它们也很快变得非常复杂。

微分方程是现代科学的核心，迭代映射是

研究非线性系统及其动力学的核心，因为它们允许

我们将输出带到系统的先前状态并将其反馈到下一次迭代中，

从而使它们很好捕捉非线性系统的反馈特性。

动力系统的另一个重要分类是基于线性。

首先定义一个非线性系统。

非线性系统是一组（一个或多个）非线性方程。

非线性方程是我们想要求解的未知量

以非线性方式出现的方程。

例如，如果所讨论的数量是函数y(t），那么诸如 y^2

或sin y之类的术语, 将是非线性的。

更确切地说，非线性方程是线性组合解的一个，

而不是新的解。

在线性系统中，描述系统行为的函数必须满足

两个基本属性的

可加性同质性。

哪一个是线性的？

g(x) = 3x; g(y) = 3y or f(x) = x2; f(y) = y2?

g(x+y) = 3x + 3y = g(x) + g(y)

同质化 5 g(x) = 5 3x = 15x = g(5x)

如果常微分方程系统不依赖于自变量，

则称为自治系统。

如果自变量是时间，我们称为非时变系统。

在自治系统中如果输入信号x(t) 产生输出y(t)，

那么任何输入x(t + δ), 都会产生时移输出y(t + δ)。

考虑这两个系统，

系统A：
系统B：

它们是自治的吗？

我们测试系统A，你可以对系统B做同样的事情。让我们开始延迟

输入

现在我们将输出延迟δ

因此系统不是

非时变系统或非自治的系统。